巧用“构造法”解一元二次方程竞赛题在初中数学竞赛活动中，我们经常会碰到表面上看很难解答的一元二次方程竞赛题，但是只要我们认真分析已知条件，深入挖掘，运用所学知识构造已知条件和所求结论之间的桥梁，就能使一元二次方程竞赛题在新形式下得到解答，这就是解题中的“构造”策略。笔者下面结合自己的教学体会浅谈用构造法解一元二次方程竞赛题的几种常用方法。一、利用根的定义构造一元二次方程当已知等式具有相同的结构时，我们就可以把某两个变元（相同的元素）看成是关于某个字母的一元二次方程的两个根来构造一元二次方程。例1若实数满足■■1，■■1，则xy。（全国初中数学联赛题）思路点拨：观察方程，可以直接解答，但解答难度大，我们可将x、y看做某个一元二次方程的两根，构造方程求解。简解：33、53是关于方程■■1的两根，化简得t2（xy4363）t（63x43y43×63）0，由韦达定理得3353xy4363，故xy33534363432。小结：竞赛题中的一元二次方程题目一般都不能直接求解，而是需要我们通过分析、归纳已知条件构造一元二次方程，再运用有关一元二次方程的知识进行解答。二、利用韦达定理逆定理构造一元二次方程
f若问题中有形如xya，xyb的关系式时，则x、y可看作方程t2atb0的两个实数根。
例2已知实数a、b、c满足，abc2，abc4，（1）求a、b、c中最大者的最小值。（2）求abc的最小值。（全国初中数学竞赛题）
思路点拨：该题运用不等式的变形来求解是比较繁琐的，由题得bc2a，bc■，构造以b、c为实数根的一元二次方程，通过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解（2）。
简解：（1）设a≥b，a≥c，∵bc2a∴bc■∴b、c为一元二次方程x2（2a）x■0的两根∴△（2a）24×■≥0，即（a24）（a4）≥0，a≥4，当a4，bc1时，满足条件，故a、b、c中最大者的最小值为4。
（2）a、b、c只一正二负，设ab、b0、c0，则abcabc2a2，由（1）知a≥4，故2a2≥6，当a4，bc1时，a、b、c满足条件，且使abcabc2a2≥6中等号成立，故abc的最小值为6。
小结：我们通过构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，这种方法在求字母的取值范围、求最值等方面有广泛的应用。
三、确定主元构造一元二次方程我们在遇到含有多个变元的等式时可以将方程整理为关于某个未知数的一元二次方程，再利用一元二次方程的有关性质求解。
f例3求方程x2xyy23x3y30的实数的解。（全国初中数r