第5章大数定律与中心极限定理
一、填空题：填空题：
2
1设随机变量Eξ，方差Dξσ，则由切比雪夫不等式有Pξ≥3σ≤2设ξ1ξ2Lξ
是
19


个相互独立同分布的随机变量，
EξiDξi8i12L
对于ξ
Dξ82ε
ε2
∑
i1


ξi
，写出所满足的切彼雪夫不等式
Pξ≥ε≤
，并估计Pξ4≥
1
12


3
设随机变量X1X2LX9相互独立且同分布而且有EXi1
DXi1i12L9令X∑Xi则对任意给定的ε0由切比雪夫不等式
i1
9
直接可得PX9ε≥


1
9ε2

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：EX与DXσ2都存在则对任意给定的ε0有
PX≥ε≤
σ2σ2或者PXε≥12ε2ε
由于随机变量X1X2LX9相互独立且同分布而且有
EXi1DXi1i12L9所以
EXE∑Xi∑EXi∑19
i1
i1i1999σDXD∑Xi∑DXi∑19i1i1i12

9

9
9
4设随机变量X满足：EXDXσ2则由切比雪夫不等式有PX≥4σ
≤
116

2解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足EXDXσ则对任意
σ2σ21的ε0有PX≥ε≤2由此得PX≥4σ≤2ε4σ16
41
f5、设随机变量ξEξDξσ，则Pξ2σ≥
2
34

6、设ξ1ξ2Lξ
为相互独立的随机变量序列，且ξii12L服从参数为λ的泊松
∑ξ
分布，则limP
→∞i1


i

λ≤x

λ
12π
∫
x
∞
e

t22
dt

7、设η
表示
次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的
概率，则Paη
≤b≈
∫
b
p
p1pa
p
p1p
1e2dt2π
t2
8设随机变量ξ
服从二项分布B
p其中0p1
12L那么对于任一实数x有limPξ
px
→∞
0

9设X1X2LX
为随机变量序列a为常数则X
依概率收敛于a是指
ε0limPX
aε
∞
1或ε0limPX
a≥ε0。
∞


10设供电站电网有100盏电灯夜晚每盏灯开灯的概率皆为08假设每盏灯开关是相互独立的若随机变量X为100盏灯中开着的灯数则由切比雪夫不等式估计X落在75至85之间的概率不小于
925

解：EX80DX16于是
P75X85PX80r