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数,且对任意x∈R都有fx=fx+4,当x∈-20时,fx=2x,则f2012-f2011的值为1A.-21B2C.2D.-2
审题导引1利用函数fx的奇偶性与单调性比较各数的大小;2利用函数的周期性与奇偶性求解.规范解答1f′x=2x+si
x,∴当x>0时,f′x>0,即fx=x2-cosx在0,+∞上是增函数,又fx是偶函数,∴f-05=f05,∴f0<f-05<f06.
f2由题可知函数的周期为4,故f2012-f2011=f0-f-1=0-2-11=-2答案1A2A【规律总结】函数性质的综合应用求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路,即把自变量化归到已知区间中,然后根据函数的有关性质进行求解,如例3第1题中要比较f-05,f0,f06的大小,就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到0,+∞内,然后根据函数的单调性比较它们的大小.易错提示常见周期函数的几种形式函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及函数周期的求解,常见形式主要有以下几种:1如果fx+a=fx+ba≠b,那么函数fx是周期函数,其中一个周期为T=a-b;2如果fx+a=-fx+ba≠b,那么函数fx是周期函数,其中一个周期为T=2a-b;3如果fx+a=-fx,那么函数fx是周期函数,其中一个周期为T=2a;4如果fx+a=11或者fx+a=-,那么函数fx是周期函数,fxfx
其中一个周期为T=2a;5如果函数fx既有对称中心,又有对称轴,则该函数是一个周期函数,若其中的对称中心为a,m,与其相邻的对称轴为x=b,则该函数的一个周期为T
f=4a-b【变式训练】5.2012东莞二模已知函数fx=小值为m,则M+m的值为________.解析fx=令gx=-x-si
x+1si
x=1-,x+1x+1x-si
x+1x∈R的最大值为M,最x+1
si
x,易知gx是R上的奇函数,x+1
设gx的最大值为a,则其最小值为-a,∴M=1+a,m=1-a,∴M+m=2答案2
6.2012龙岩模拟已知函数fx+1是奇函数,fx-1是偶函数,且f0=2,则f2012=A.-2C.2解析B.0D.3∵fx+1是奇函数,
则函数y=fx+1的图象关于00对称,∴函数y=fx的图象关于10对称,即f2-x+fx=0①∵fx-1是偶函数,即其图象关于直线x=0对称,∴函数y=fx的图象关于直线x=-1对称,即fx=f-2-x.②由①②两式得f2-x=-f-2-x,
f即fx+4=-fx,③可得fx+8=fx,所以函数y=fx的周期T=8∴f2012=f251×8+4=f4,在③式中,r
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