第3讲导数及其应用
1．2015湖南设函数fx＝l
1＋x－l
1－x，则fx是A．奇函数，且在01上是增函数B．奇函数，且在01上是减函数C．偶函数，且在01上是增函数D．偶函数，且在01上是减函数2．2014课标全国Ⅰ已知函数fx＝ax3－3x2＋1，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是A．2，＋∞B．－∞，－2C．1，＋∞D．－∞，－13．2014辽宁当x∈－21时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是A．－5，－3B．－6，－98C．－6，－2D．－4，－34．2013安徽已知函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2若fx1＝x1x2，则关于x的方程3fx2＋2afx＋b＝0的不同实根个数为A．3B．4C．5D．6
1导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点2利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型
热点一导数的几何意义1．函数fx在x0处的导数是曲线fx在点Px0，fx0处的切线的斜率，曲线fx在点P处的切线的斜率k＝f′x0，相应的切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．
f例112015课标全国Ⅰ已知函数fx＝ax3＋x＋1的图象在点1，f1处的切线过
点
27
，
则
a
＝
________________________________________________________________________
22015泸州市质量诊断设函数fx＝ax3＋3x，其图象在点1，f1处的切线l与直
线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
A．1B．3
C．9D．12
思维升华1求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P
的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P
为切点．
2利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转
化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间
的关系，进而和导数联系起来求解．
跟踪演练1在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1a0与曲线C2：x2＋y2＝
52的一个公共点，若
C1
在
A
处的切线与
C2
在
A
处的切线互相垂直，则实数
a
的值是________．
热点二利用导数研究函数的单调性
1．f′x0是fx为增函数的充分不必要条件，如函数fx＝x3在－∞，＋∞上单调递
增，但f′x≥0
2．f′x≥0是fx为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′x＝0时，
则fx为常函数，函数不具有单调性．例22015重庆设函数fx＝3xr