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已知三个矢量分别为Aex2ey3ez；B3exey2ez；
C2exez。试求①ABC；②单位矢量eaebec；③AB；④
AB；⑤ABC及ACB；⑥ACB及ABC。
解①
A
22AxAyAz212223142
22BBxByBz232122214
22CCxCyCz22202152
②ea
AA1ex2ey3ezA1414BB13exey2ezB1414CC12exezC55
eb
ec
③ABAxBxAyByAzBz3261
exeyAyBy
ex72
ezBz
ey0
ex3
ez1
ey21
ez37ex11ey5ez2
④ABAxBx⑤
Az1
ABC
11511ex3ey22ez
ex
exAyCy
ex3
exCz
ey1
ex2
ez2
ey20
ez32ex5ey4ez1
因
ACAxCx
Az1
则
ACB2
⑥
546ex8ey13ez
ACB235113215ABC7205119。
18
若标量函数为
fx22y23z2xy3x2y6z
试求在P121点处的梯度。解已知梯度ex
，将标量函数代入得eyezxyz
ex2xy3ey4yx2ez6z6
再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为
P3ex9ey
211若在球坐标系中，电荷分布函数为
01060
0raarbrb
试求0raarb及rb区域中的电通密度D。解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知
DdsqD4r
s
q
2
er
式中q为闭合面S包围的电荷。那么在0ra区域中，由于q0，因此D0。在arb区域中，闭合面S包围的电荷量为
4qdv106r3a3v3
因此，


D
106r3a3er3r2
4qdv106b3a3v3


在rb区域中，闭合面S包围的电荷量为


因此，
D
106b3a3er3r2


212
若带电球的内外区域中的电场强度为
fqr2raEerqrraa
试求球内外各点的电位。解在ra区域中，电位为
rEdrEdrEdr
arra


q2qar22aa


在ra区域中，r


r
Edr
r