第一章
12给定三个矢量A，B，C：Aax2ay3azB4ayazC5ax2az
求：⑴矢量A的单位矢量aA；⑵矢量A和B的夹角AB；⑶AB和AB
⑷A（BC）和（AB）C；
⑸A（BC）和（AB）C
解：⑴aA

AA

A
149
（ax2ay3az）
14
⑵cosABABABAB1355o
⑶AB11AB10axay4az⑷A（BC）42
（AB）C42⑸A（BC）55ax44ay11az
（AB）C2ax40ay5az13有一个二维矢量场Frax（y）ayx，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dxydyx得x2y2c
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f16求数量场l
（x2y2z2）通过点P（1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为l
（x2y2z2）c
则cl
149l
14
那么x2y2z214
19求标量场（xyz）6x2y3ez在点P（2，1，0）的梯度。
解：由ax
x
ay
y
az
z
12xy3ax18x2
y2
ayez
az得
24ax72ayaz110在圆柱体x2y29和平面x0，y0z0及z2所包围的区域，
设此区域的表面为S
⑴求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为
Aax3x2ay（3yz）az3zx
⑵验证散度定理。
解：⑴

A

ds

AdSAdSAdSAdSAdS
曲
xoz
yoz
上
下
AdS32cos33si
2zsi
dd1564
曲
曲
AdS3yzdxdz6
xoz
xoz
AdS3x2dydz0
yoz
yoz

上
A

d
S


下
A

d
S


上
6


cos
d
d



下

cos
d

d

272


A

ds
193

⑵VAdV66xdV6cos1dddz193
V
V
即：
s
A

ds

V
AdV
113求矢量Aaxxayxy2沿圆周x2y2a2的线积分，再求A对此
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f圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：
A

dl

xdxxy2dya4
lL
4
Aazy2


A

ds

y2dS
2si
2dda4
S
S
S
4
即：
l
A

dl

S

A

ds
，得证。
115求下列标量场的梯度：
⑴uxyzx2
uax
ux

ay
uy

az
uz

ax
yzzx
ay
xz
az
xy
⑵u4x2yy2z4xz
uax
ux

ay
uy

az
uz

ax
8xy4z
ay
4
x2
2yz
az

y2
4x

⑶uax
ux

ay
uy
az
uz

ax
3xay5zaz5y
116求下列矢量场在给定点的散度
⑴
A

Axx
Ay
y

Azz
3x23
y231016

⑵A2xyz6z1102
117求下列矢量场的旋度。
⑴A0⑵Aax（xx）ay（yy）az（zz）0119已知直角坐标系中的点Pxyz和点Qx’y’z’求：
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f⑴P的位置矢量r和Q点的位置矢量r；
⑵从Q点到P点的距离矢量R；
⑶


r
和


r
；
⑷r