考向平面向量与解三角形
例3已知向量m＝2si
ωx，cos2ωx－si
2ωx，
＝3cosωx，1，其中ω0，x∈R，若函数fx＝m
的最小正周期为π
1求ω的值；
4
f2在△ABC中，若fB＝－2，BC＝3，si
B＝3si
A，求B→AB→C的值．解析：1fx＝m
＝23si
ωxcosωx＋cos2ωx－si
2ωx
＝3si
2ωx＋cos2ωx＝2si
2ωx＋π6
因为fx的最小正周期为π，所以T＝22ωπ＝π，所以ω＝12因为fB＝－2，
所以2si
2B＋π6＝－2，即si
2B＋π6＝－1因为0Bπ，所以2B＋π6∈π6，136π，
所以2B＋π6＝32π，所以B＝23π因为BC＝3，即a＝3，因为si
B＝3si
A，所以b＝3a＝3由正弦定理si
3A＝32π，
si
3所以si
A＝12因为0Aπ3，所以A＝π6，所以C＝π6，c＝3，所以B→AB→C＝cacosB＝－32
设△ABC的面积为S，且2S＋3A→BA→C＝01求角A的大小；2若B→C＝3，且角B不是最小角，求S的取值范围．
解析：1设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由2S＋3A→BA→C＝0，得2×12bcsi
A＋3bccosA＝0，即si
A＋3cosA＝0，ta
A＝－3又因为A∈0，π，所以A＝23π
5
f2因为a＝3，由正弦定理得23π＝sib
B＝si
cC，所以b＝2si
B，c＝2si
C，si
3
从而S＝12bcsi
A＝3si
Bsi
C
＝3si
Bsi
π3－B
＝3si
B23cosB－12si
B＝343si
2B－1－c4os2B
＝
23si
2B＋π6－
34
又B∈6π，π3，2B＋π6∈π2，56π，
所以S∈0，43
【注】本例突出训练平面向量数量积、三角函数与正余弦定理相结合在解三角形中的综合应用．
自测反馈1函数fx＝si
x－cosx2的最大值为__2__．解析：fx＝si
x－cosx2＝1－2si
xcosx＝1－si
2x因为si
2x∈－1，1，所以fxmax＝22在△ABC中，若a＝2，c＝3，ta
B＝－15，则b＝__4__．
解析：因为ta
B＝－15＝csoi
sBB，si
2B＋cos2B＝1，解得cosB＝－14由余弦定理得b2
＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×－14＝16，所以b＝4
3若方程si
x＋3cosx＋a＝0在0，2π内有相异的两解α，β，则α＋β＝__π3或73π__．
解析：因为方程si
x＋3cosx＋a＝0在0，2π内有相异的两解α，β，所以si
α＋3cosα
＋a＝0，si
β＋3cosβ＋a＝0，两式相减得si
α－si
β＋3cosα－cosβ＝0，si
α＋2β＋α－2β
－si
α＋2β－α－2β＋
3cosα＋2β＋α－2β－cosα＋2β－α－2β＝0，化简整理得
α－β2si
2
cosα＋2β－23si
α＋2βsi
α－2β＝0又因为si
α－2β≠0，所以ta
α＋2β＝33，所以α＋2β＝kπ＋π6，
k∈Z，则α＋β＝2kπ＋3π，k∈Z因为α，β∈0，2π，所以α＋β＝3π或73π
4已知△Ar