由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a＋c2－3ac，所以a＋c2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝21
【变式2】在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3当且仅当a＝c＝3时取等号，
所以
S△ABC＝12acsi
B≤12×3×si
π3＝3
4
3
故△ABC
面积的最大值为34
3
在△ABC中，已知ta
A＝14，ta
B＝351求角C的大小；2若△ABC的最大边长为17，求最小边长．解析：1因为A＋B＋C＝π，
2
f所以ta
C＝－ta
A＋B＝－1t－a
tAa＋
Attaa
BB
＝－1－1414＋×5335＝－1
因为0Cπ，所以C＝34π2因为C＝34π，所以最大边为AB＝17，
因为ta
A＝1435＝ta
B，A，B∈0，π2，
所以ABC，所以角A最小，即边BC最小．由ta
A＝14，si
2A＋cos2A＝1得si
A＝1177，由sAi
BC＝sBi
CA得BC＝si
AsAi
BC＝2，所以最小的边长为2【注】本例训练三角函数基本关系、正余弦定理及两角和与差公式的简单综合运用，注意三角形基本知识的运用
考向三角函数与解三角形
例2已知函数fx＝si
ωxsi
ωx＋π6－43ω0，且其图象的相邻对称轴间的距离为π4
1求fx在区间1112π，98π上的值域；
2在锐角三角形ABC中，若fA－π8＝12，a＝1，b＋c＝2，求△ABC的面积．
解析：1
fx＝si
ωx
23si
ωx＋12cosωx－
34
＝
23si
2ωx＋12si
ωxcosωx－
34
＝
431－cos2ωx＋14si
2ωx－
34
＝14si
2ωx－
34cos2ωx
＝12si
2ωx－π3
由条件知T＝π2
又T＝22ωπ，所以ω＝2，
3
f所以fx＝12si
4x－π3因为x∈1112π，98π，所以4x－π3∈130π，256π，所以si
4x－π3∈－1，21，
所以fx的值域是－12，14．
2由fA－π8＝12得A＝π3由a＝1，b＋c＝2及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得bc
＝1，所以△ABC的面积S＝12bcsi
A＝43
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b2＋c2－a2＝bc1求角A的大小；
2设函数fx＝si
x2cosx2＋3cos2x2，当fB取得最大值时，判断△ABC的形状．解析：1因为在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12
因为A∈0，π，所以A＝π3
2fx＝si
x2cosx2＋3cos2x2
＝12si
x＋
23cosx＋
32
＝si
x＋π3＋23，
所以
fB＝si
B＋3π＋
32
因为B∈0，23π，所以B＋π3∈π3，π
当B＋π3＝π2时，即B＝π6时，fB取最大值，此时C＝π2，所以△ABC是直角三角形．【注】本例通过辅助角公式将三角函数化同名同角进而研究三角形中三角函数性质
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