如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。类型一：a
1a
f
或
a
1g
a

分析：利用迭加或迭乘方法。即：a
a
a
1a
1a
2……a2a1a1或a

a
a
1a2……a1a
1a
2a1
例11已知数列a
满足a1
11，求数列a
的通项公式。a
1a
22

1a
（2）已知数列a
满足a11s
，求数列a
的通项公式。2
解：（1）由题知：a
1a

1111

1
1
2
a
a
a
1a
1a
2……a2a1a1

1111111……
1
2
1122

（2）
312

2s
1a

2s
1
a
1
2
两式相减得：2a
1a
a
1
2
a

2a
1
1a
a
1a2a
……a1a
1a
2a1
12……1
1
21
即：类型二：a
1pa
q其中pq为常数，pqp10分析：把原递推公式转为：a
1tpa
t其中t
q，再利用换元法转化为等比数列求解。1p
f例2已知数列a
中，a11a
12a
3，求a
的通项公式。解：由a
12a
3可转化为：
a
132a
3
令b
a
3则b1a134且b
12b

b
是以b14为首项，公比为q2的等比数列
b
42
12
1
即a
2
13类型三：a
1pa
f
其中p为常数分析：在此只研究两种较为简单的情况，即fx是多项式或指数幂的形式。（1）fx是多项式时转为a
1A
1Bpa
A
B，再利用换元法转为等比数列（2）fx是指数幂：a
1pa
rq若pq时则转化为
1
pqr0
a
1a
r，再利用换元法转化为等差数列q
1q
qrpq

1
若pq时则转化为a
1tqpa
tq其中t
例3（1）设数列a
中，a11a
13a
2
1，求a
的通项公式。（2）设数列a
中，a11a
13a
2，求a
的通项公式。

解：（1）设a
1A
1B3a
r