四知识分析
【知识梳理】
数学归纳法是证明关于正整数
的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察－归纳－猜想－证明”的思维模式，就显得特别重要。
一般地，证明一个与正整数
有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当
取第一个值
0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设
k（时命题也成立。
）时命题成立，证明当
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数
都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
【要点解析】
1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即
＝k＋1时为什么成立，
＝k＋1时成立是利用假设
＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出
＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则
＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
2、运用数学归纳法时易犯的错误
（1）对项数估算的错误，特别是寻找
＝k与
＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
f（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设
＝k时结论成立，利用此假设证明
＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
【典型例题】
例1用数学归纳法证明：
时，
解析：①当式成立。
时，左边
，右边
②假设
时等式成立，即有
则当
时，
。，左边右边，所以等
，
，
所以当
时，等式也成立。
由①，②可知，对一切
等式都成立。
点评：（1）用数学r