2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
参考答案及评分标准
说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两
档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1
已知
a
b
是方程
log3
x
3

log27
3x


43
的两个根，则
a

b

（
）
10
A
27
4
B
81
10
C
81
28
D
81
解原方程变形为log33log33x4，即11log3x4
log33xlog32731log3x
3
3
令1log3xt
，则
1t4t33
，解得
t11t23
所以1log3x1
或
1log3
x3，所以方程的两根分别为1和1，所以ab10
981
81
故选（C）
2设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足AD3AB4
APAD2BC，则S△APD
5
S△ABC

3
A
10
2
B
5
7
C
15
8
D
15
解连PD，则DP2BC，所以DPBC，故ADPB，故5
S△APD

12
AD
DPsi
ADP
32
3

S△ABC
1ABBCsi
B
4510
2
故选（A）
3定义在R上的函数fx既是奇函数又是周期函数，若fx的最小正周期是，且当
x∈0时，fxsi
x，则f8的值为
2
3

1
f3
A
2
B32
解根据题设条件可知
1
C
2
D12
f8f3ffsi
3
3
3
3
3
32
故选（B）
4已知ABCDA1B1C1D1是一个棱长为1的正方体，O1是底面A1B1C1D1的中心，M是棱
BB1上的点，且S△DBMS△O1B1M23，则四面体O1ADM的体积为

7
A
24
3
B
16
7
C
48
11
D
48
解易知AC平面D1B1BD，设O是底面ABCD的中
D
C
心，则AO平面DO1M
O
A
B
因为S△DBMBDBM2BM2，
S△O1B1MO1B1B1M
B1M3
所以BMB1M

1，故BM3

14B1M

3于是4
M
D1
C1
A1
O1
B1
SSSSS△DO1M
D1B1BD
△DD1O1
△O1B1M
△DBM
1212112311272，
2222424
16
所以VAO1MD

13
S△DO1M

AO

17316
227248
故选（C）
5有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号
互不相同的概率为

5
A

21
2
B
7
1
C
3
8
D
21
解从10个球中取出4个，不同的取法有C140210种如果要求取出r