三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：
H0xr1H1xr12r22
其中，r1和r2是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。若似然比检测门限为，
求贝叶斯判决表示式。
解假设H0下，观测信号x的概率密度函数为
px

H0


12
12

exp


x22

假设H1下，xr12r22，而r1N01r2N01，且相互统计独立。大家知道，
若rkN01，且rkk12N之间相互统计独立，则
N
xxk2k1
是具有N个自由度的2分布。现在N2，所以假设H1下，观测信号x的概率密度函数
为
px

H1

222
12

2
x221
exp
x22

1expx2x0
2
2
当x0时，pxH10。
于是，似然比函数为
x
pxH1pxH0


2
1
2
exp

0
x22

x2

x0x0
当似然比检测门限为时，判决表达式为

2
12
exp


x22

x2

H1

x0

H0
H0成立
x0
对x0的情况，化简整理得判决表达式为
x2

x
H1

H0
2
l


2
12


f四、（15分）已知被估计参量的后验概率密度函数为pxx2expx0

（1）求的最小均方误差估计量mse。
（2）求的最大后验估计量map。
解（1）参量的最小均方误差估计量mse是的条件均值，即


msepxd
0

x22expxd
0

x

2
x
121
2xx
（2）由最大后验方程

mse0x
l
px

0
map
得
l
x2l
x

1

x



map

0
解得

map

1x

x

map0
x
七、（15分）若对未知参量进行了六次测量，测量方程和结果如下：
182
222
202
38


4



404
384
f
设初始估计值和估计量的均方误差分别为：
0

0

20


def
试用递推估计求的线性最小二乘估计量1sk和估计量的均方误差
def
2


2k
k
1
2
6；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。
1s
解我们知道，线性最小二乘估计量的构造公式为

1s
HTH1HTx
而单参量的线性最小二乘递推估计的公式为

2k


2k1

1

hk21
Kkk2hk


kk1Kkxkhkk1
这样，能够算出k126的非递推估计结果和递推估计结果，如下表所示。
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