1B，
∴△O1BD≌△O1BG（HL），
∴∠O1BG∠O1BD30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB90°，∠O1BD30°，
∴BDO1Dta
30

223，33
∴OO19223723，
∵O1DOE2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1DOE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OEOF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH∠CDO190°，∠ABC60°，
∴∠GO1D120°，
又∵∠FO1D∠O2O1G90°，∴∠OO1O2360°90°90°60°∠ABC，
同理，∠O1OO290°，
∴△OO1O2∽△CBA，
C∴OO1O2CABC

OO12
BC
，即COO1O22793

729
3
，
唐玲
f∴C△OO1O2153，即圆心O运动的路径长为153．
考点：切线的性质；作图复杂作图．8（2017江苏盐城第26题）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在
边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为
．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形
（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
4
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB50cm，BC108cm，CD60cm，且ta
Bta
C，木匠
3
徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
1
ah
【答案】【探索发现】【拓展应用】【灵活应用】720
【实际应用】1944cm2．
2
4
【解析】
试题分析：【探索发现】：由中位线知
EF
12
BC、ED
12
AB、由
S矩形FEDBSABC
EFDE1ABBC可得；
2
唐玲
fPNAE
a
ah
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知
BC

AD
，可得PNa
h
PQ，设
PQx，由
S
矩形
PQMNPQPN
（x
h
2
）
2ah，据此可得；4
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AEEH20、CDDH16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AFDH16、CGHE20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由ta
Bta
C知EBEC、BHCH54，
4
EHBH72，继而求得BECE90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CDr