上，利用【拓展应用】结论解
3
答可得．试题解析：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，
1
1
∴ED∥AB，EF∥BC，EFBC，EDAB，
2
2
又∠B90°，
∴四边形FEDB是矩形，
S则矩形FEDBSABC

EFDE
1BC1AB22
1ABBC1ABBC
12
2
2
【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
PN∴BC
AEPNAD，即a

h
PQh
，
a∴PNahPQ，
设PQx，
则
S
矩形PQMNPQPNx（a
ah
x）
ah
x2ax
ah
（x
h2
）2
ah4
，
唐玲
fh
ah
∴当PQ2时，S矩形PQMN最大值为4，
【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB32，BC40，AE20，CD16，
∴EH20、DH16，
∴AEEH、CDDH，
在△AEF和△HED中，
FAE＝DHE
∵AE＝AH
，
AEF＝HED
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AFDH16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CGHE20，
AB
∴BI

AF
24，
2
∵BI24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，
1
1
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BGBF×（4020）×（3216）720，
2
2
唐玲
f答：该矩形的面积为720；【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
4
∵ta
Bta
C，
3
∴∠B∠C，∴EBEC，∵BC108cm，且EH⊥BC，
1
∴BHCHBC54cm，
2
EH4
∵ta
BBH

，
3
44
∴EHBH×5472cm，
33
在Rt△BHE中，BEEH2BH290cm，
∵AB50cm，∴AE40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD60cm，∴ED30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为1BCEH1944cm2，4
唐玲
f答：该矩形的面积为1944cm2．考点：四边形综合题．9（2017甘肃兰州第22题）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P
求作：直线l的垂线，使它经过点P
做法：如图：1在直线l上任取两点A、B；2分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；
3作直线PQ
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
1以上材料作图的依据是

3已知：直线l和l外一点P，
求作：⊙P，使它与直线l相切。尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性r