第三章第一节空间向量及其运算练习
设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：
学习目标1掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题________________________________________________________________________________
自学探究
问题1基础知识梳理
具有和的量叫向量，
叫向向量的加法和减法的运算法则有
量的模；
叫零向量，记法则
和
法则
着
；
具有
叫单位向量
实数λ与向量a的积是一个量，记作其长度和方向规定如下：
，向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝
结合律：a＋b＋c＝
1λa＝

数乘分配律：λa＋b＝
2当λ＞0时，λa与a；当λ＜0时，
λa与a
；当λ＝0时，λa＝
①表示空间向量的
所在空间向量共面：
的直线互相
或，则这些向量叫共①共面向量：
同一平面的向量
线向量，也叫平行向量②空间向量共线定理：对空间任意两个向量
ab（b0），ab的充要条件是存在唯一实
数使得
；
③推论：l为经过已知点A且平行于已知非
零向量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
②定理：对空间两个不共线向量ab，向量p与
向量ab共面的充要条件是存
在
，使
得

③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点
ABC共面的充要条件是：
⑴存在
，使
⑴对空间任意一点O，有
向量的数量积：ab

⑵单位正交分解：如果空间一个基底的三个基
向量互相，长度都为，则这个基底叫
做单位正交基底，通常用｛ijk｝表示
空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系Oxyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数
组xyz，使得axiyjzk，则称有序实数组xyz为向量a的坐标，记着
p

向量的直角坐标运算：设a＝a1a2a3，b＝
b1b2b3，则
a＋b＝
；⑵a－b＝
；
3λa＝
；⑷ab＝
设Ax1y1z1，Bx2y2z2，则AB＝

问题2动手试试
1在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异
面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；
④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命
题的个数为（）
A．0B1C2D3
高中数学
f2若a、b均为非零向量，则abar