.题型二圆的切线与弦长问题例2已知点M31,直线ax-y+4=0及圆x-12+y-22=41求过M点的圆的切线方程;2若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值.3若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.思维启迪在求过某点的圆的切线方程时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上,则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时,常考虑几何法.解1圆心C12,半径r=2,
当直线的斜率不存在时,方程为x=3由圆心C12到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=kx-3,
f即kx-y+1-3k=0k-2+1-3k3由题意知=2,解得k=24k+13∴圆的切线方程为y-1=x-3,4即3x-4y-5=0故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0a-2+442由题意得=2,解得a=0或a=23a+13∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为∴a+2
2
a+2
,a2+1
23232+=4,解得a=-24a+1
思维升华1求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上即为切点,则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.已知点P05及圆C:x2+y2+4x-12y+24=01若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;2求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解1如图所示,AB=43,将圆C方程化为标准方程为x+22+
y-62=16,∴圆C的圆心坐标为-26,半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,∴AD=23,AC=4C点坐标为-26.在Rt△ACD中,可得CD=2设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0-2k-6+5由点C到直线AB的距离公式:2=2,k+-123得k=4故直线l的方程为3x-4y+20=0又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=02设过P点的圆C的弦的中点为Dx,y,
f→→则CD⊥PD,即CDPD=0,∴x+2,y-6x,y-5=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0题型三圆与圆的位置关系例31已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方r