交点；
f2求直线l被圆C截得的最短弦长．思维启迪直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．
y＝kx＋1，方法一1证明由22x－1＋y＋1＝12，
消去y得k2＋1x2－2－4kx－7＝0，因为Δ＝2－4k2＋28k2＋10，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．2解设直线与圆交于Ax1，y1、Bx2，y2两点，
则直线l被圆C截得的弦长AB＝1＋k2x1－x2＝28－4k＋11k2＝21＋k24k＋311－，1＋k2
4k＋3令t＝，则tk2－4k＋t－3＝0，1＋k23当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，4所以Δ＝16－4tt－3≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，4k＋3故t＝的最大值为4，此时AB最小为271＋k2方法二1证明圆心C1，－1到直线l的距离d＝k＋21＋k
2，圆
C的半径R＝23，R2
k2＋4k＋411k2－4k＋8－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，1＋k21＋k2Δ＝－42－4×11×80，故11k2－4k＋80对k∈R恒成立，所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．2解由平面几何知识，8－4k＋11k2，下同方法一．1＋k2
知AB＝2R2－d2＝2
方法三1证明因为不论k为何实数，直线l总过点P0，1，而PC＝523＝R，所以点P01在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．2解由平面几何知识知过圆内定点P01的弦，只有和ACC为圆心垂直时才最短，
而此时点P01为弦AB的中点，由勾股定理，知AB＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27
f思维升华1利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；2勾股定理是解决有关弦问题的常用方法．1若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则Pa，bA．在圆上C．在圆内B．在圆外D．以上都有可能
2直线l：y－1＝kx－1和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A．相离C．相交B．相切或相交D．相切
3在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．答案解析1B2C3－13131由12221，得a＋b1，∴点P在圆外．a＋b
2
2圆x2＋y2－2y＝0的圆心是01，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝直线与圆相交．3根据题意知，圆心O到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，∴c1，∴c13，122＋52
k1故1＋k2
∴c∈－1313r