P⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE＝PC，连接BE
1情况一：当点P在线段AB上时，图形如图Z9－9①所示；情况二：如图②，当点P在BA的延长线上，且APAB时，请依题意补全图②；2请从问题1的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：①求证：∠ACP＝∠DPB；②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．
图Z9－9
f专题突破九几何综合北京真题体验1．解：1∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC又∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠PAQ＝∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝60°－20°－20°＝20°，∴∠BAQ＝∠BAP＋∠PAQ＝40°又∵∠B＝60°，∴∠AQB＝180°－∠B－∠BAQ＝80°2①如图；②利用想法1证明：连接AQ，首先应该证明△APB≌△AQC，得到∠BAP＝∠CAQ，然后由∠CAQ＝∠CAM得到∠CAM＝∠BAP，进而得到∠PAM＝60°；接着利用∠MCA＝∠QCA＝∠PBA＝60°，AB＝AC，∠CAM＝∠BAP，得到△APB≌△AMC，从而得到AP＝AM，进而得到PA＝PM利用其他想法证明也可以
2．解：1①如图①所示．
②AH＝PH，AH⊥PH证明：连接CH，由条件易得：△DHQ为等腰直角三角形，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP∵BD为正方形ABCD的对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH2如图②，
f过点H作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°，∴∠DCH＝17°设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝1－2x
1－x由ta
17°＝CHRR得1＋2x＝ta
17°，
21－ta
17°∴x＝1＋ta
17°3．解：1补全图形如图①所示：
2如图①，连接AE，则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，AE＝AD∴∠ADF＝25°3如图②，连接AE，BF，BD
由轴对称的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°∴BF2＋FD2＝BD2∴EF2＋FD2＝2AB2
北京专题训练1．解：1①补全图形，如图①所示．
f②BC和CG的数量关系：BC＝CG，位置关系：BC⊥CG证明：如图①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∠1＋∠2＝90°∵射线BA，CF的延长线相交于点G，∴∠CAG＝∠BAC＝90°∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝∠2＋∠3＝90°，AD＝AF∴∠1＝∠3∴△ABD≌△ACF∴∠B＝∠ACF＝45°∴∠B＝∠G＝45°，∠BCG＝90°∴BC＝CG，BC⊥CG210思路如下：a．由G为CF中点画出图形，如图②所示．
b．与②同理，可得BD＝CF，BC＝CG，BC⊥CG；c．由AB＝2，G为CF中点，可得BC＝CG＝FG＝CD＝2；d．过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EN⊥FG于点N，可证△AMD≌△FNE，r