（1，0）和点B（4，0）代入y1ax2bx3即可得到结论；（2）由对称性可知，得到抛物线y2的函数解析式为y2x23x4，求得直线BC的解析式为：yx4，设D（m，m4），E（m，m23m4），其中0≤m≤4，得到DEm4（m23m4）（m1）29，即可得到结论；（3）由题意得到△BOC是等腰直角三角形，求得线段BC的垂直平分线为yx，由（2）知，直线DE的解析式为x1，得到H（2，2），根据S⊙P：S△DFH2π，得到r，由于⊙P与直线BC相切，推出点P在与直线BC平行且距离为的直线上，于是列方程即可得到结论．【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（4，0）代入y1ax2bx3得：a1，b3，∴抛物线y1的函数解析式为：y1x23x4；（2）由对称性可知，抛物线y2的函数解析式为：y2x23x4，∴C（0，4），设直线BC的解析式为：ykxq，
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f把B（4，0），C（0，4）代入得，k1，q4，∴直线BC的解析式为：yx4，设D（m，m4），E（m，m23m4），其中0≤m≤4，∴DEm4（m23m4）（m1）29，∵0≤m≤4，∴当m1时，DEmax9；此时，D（1，3），E（1，6）；（3）由题意可知，△BOC是等腰直角三角形，∴线段BC的垂直平分线为：yx，由（2）知，直线DE的解析式为：x1，∴F（1，1），∵H是BC的中点，∴H（2，2），∴DH，FH，∴S△DFH1，设⊙P的半径为r，∵S⊙P：S△DFH2π，∴r，∵⊙P与直线BC相切，∴点P在与直线BC平行且距离为的直线上，∴点P在直线yx2或yx6的直线上，∵点P在抛物线y2x23x4上，∴x2x23x4，解得：x12，x22，x2x23x4，解得：x32，x42，∴符合条件的点P坐标有4个，分别是（2，），（2，），（2，4），（2，4）．
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f【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，折叠的性质，二次函数的最大值问题，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
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