数学奥林匹克初中训练题
第一试
一、选择题每小题7分，共42分
1设3236xyz，且x、y、z为有理数则xyz
A3／4
B5／6
C7／12
D13／18
2设二次函数fxax2ax1的图像开口向下，且满足ff1f3则2a的值为
A－3
B－5
C－7
D－9
3方程xyxy1的整数解的组数为
A2
B4
C6
D8
、b是方程x2m－5x70的两个根则a2ma7b2mb7
A365
B245
C210
D175
5如图，Rt△ABC的斜边BC4，∠ABC30°，以AB、AC为直径分别作圆则这两圆的公共
部分面积为
2
A

3
32
B52363
C536
D233
6从1，2，…，13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数之差既不等于5，也不等于
8则k的最大值为
A5
B6
C7
D8
二、填空题每小题7分，共28分
1若整系数一元二次方程x2a3x2a30有一正根x1和一负根x2，且x1x2，则
a

2当x293时，代数式x45x3－3x2－8x9的值是

2
3给定两组数，A组为1，2，…，100B组为12，22，…，1002对于A组中的数x，若有B
组中的数y，使xy也是B组中的数，则称x为“关联数”那么，A组中这样的关联数有
f个4已知△ABC的三边长分别为
AB2a2576，BCa214a625，ACa214a625，其中a7则△ABC的
面积为

第二试
一、20分解方程12x526x－1x1552
二、25分如图，四边形ABCD中，∠ACB∠ADB90°，自对角线AC、BD的交点N作NM⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点证明点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和
f三、25分矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上包括原矩形的四个顶点，其余10个点在矩形内部在矩形的内部有45条粘缝两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示试求该矩形台板所碎裂成的各种类型指三角形、四边形、五边形等的块数说明若凸多边形的周界上有
个点，就将其看成
边形例如图中的多边形ABCDE
要看成五边形
f第一试
数学奥林匹克初中训练题1参考答案
1A两边平方得3236xyz2xy2yz2xz
根据有理数x、y、z的对称性可考虑方程组
xyz32xy22yz32xz6
解得x1y1／2z3／2此时xyz34
注意到f12a1f312a1ff1a2a12a2a11由ff1f3得2a122a112所以2a13或－4因a0故2a－5因x、y为整数则xy、xy为非负整数于是xy、xy中一个为0一个为1分情形考虑得6组解由ab7a2ma75ab2mb75b所以r