中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明
111111≥≥，则a2b2c2（乱序和）cbacab111111≥a2b2c2（逆序和），同理a2b2c2（乱序和）abccab111≥a2b2c2（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式再考虑数abc111333组a≥b≥c及≥≥，仿上可证第二个不等式bcacab
不妨设a≥b≥c则a≥b≥c
222
4分析：不等式右边各项
ai1ai2；可理解为两数之积，尝试用排序不等式2ii
设b1b2Lb
是a1a2La
的重新排列，满足b1b2Lb
，又1
1112L2223

所以a1
abba2a3b2L
≥b123L
由于b1b2Lb
是互不相同的正整222
2323
2bbb11数，故b1≥1b2≥2Lb
≥
从而b123L
≥1L，原式得证2222
23
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a2b2≥abba
a3b3c3≥a2bb2cc2aaabbbccca≥abcbaccab3abc
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5思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方．．法
a2b2≥2ab同理b2c3≥2bcc2a2≥2ca；三式相加再除以2即得证
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧如
2x2x12x2L
≥x1x2Lx
，可在不等式两边同时加上x2x3x1
x2x3Lx
x1再如证a1b1ac3bc3≥256a2b2c3abc0时，可连续使用基本不等式如
（2）基本不等式有各种变式
ab2a2b2≤等但其本质特征不等式两边的次数及22
1，如何也转化为a、b的4次8
系数是相等的如上式左右两边次数均为2，系数和为16思路分析：不等式左边是a、b的4次式，右边为常数
式呢要证ab≥
44
11即证a4b4≥ab488
33评述：（1）本题方法具有一定的普遍性如已知x1x2x31xi≥0求证：x1x2
11133求证：1x2x2x3xx3≥右侧的可理解为x1x2x3再如已知x1x2x30，333
x3x1≤0，此处可以把0理解为x1x2x3，当然本题另有简使证法
2
38
（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例（一般地，对于
个正数a1a2La
调和平均H

111La1a2a


几何平均G
算术平均A

r