高中数学竞赛中不等式的解法
摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型在解决
竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、
切比雪夫不等式本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用
1．排序不等式
定理1设a1a2a
b1b2b
，则有
a1b
a2b
1a
b1倒序积和
a1br1a2br2a
br
（乱序积和）
a1b1a2b2a
b
（顺序积和）
其中r1r2r
是实数组b1b2b
一个排列，等式当且仅当a1a2a
或b1b2b
时成立
（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和）
证明：考察右边不等式，并记Sa1br1a2br2a
br
。
不等式Sa1br1a2br2a
br
的意义：当r11r22r
时，S达到最大值
a1b1a2b2a
b
因此，首先证明a
必须和b
搭配，才能使S达到最大值也即，设r
且b
和某个
akk
搭配时有
事实上，
akb
a
br
akbr
a
b

（11）
a
b
akbr
akb
a
br
b
br
a
ak0不等式（11）告诉我们当r
时，调换b
和br
的位置（其余
2项不变），会使和S增加同理，调整好a

和b
后，再调整a
1和b
1会使和增加经过
次调整后，和S达到最大值a1b1a2b2a
b
，这就证明了
a1br1a2br2a
br
a1b1a2b2a
b
再证不等式左端
f由a1a2a
b
b
1b1及已证明的不等式右端，
得
a1b
a2b
1a
b1a1br1a2br2a
br

即
a1b
a2b
1a
b1a1br1a2br2a
br

abc
例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设abc是正数，求证：aabbccabc3
思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明
证明：不妨设abc，则有lgalgblgc
根据排序不等式有：
algablgbclgcalgbblgcclga
algablgbclgcalgcblgaclgb
以上两式相加，两边再分别加上algablgbclgc
有
3algablgbclgcabclgclgalgb
即
lgaabbccabclgabc
3
abc
故
aabbccabc3
例2设abcR，求证：abca2b2b2c2c2a2a3b3c3
2c
2a
2bbccaab
思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明
证明：不妨设abc，则a2b2c2且111cba
根据排序不等式，r