010x3
五、解：因A与B相似，故有
21120x
（10分）
解得x0（2分）
A的特征根为λ11λ21λ32（3分）
解齐次线性方程组λEAX0，得
f001对应于λ11的特征向量为P1，将它单位化得P11（5分）21120对应于λ21的特征向量为P21，将它单位化得P2101212
（7分）
1对应于λ32的特征向量为PP300
3
（9分）
令PP3P2P，则PP3P2P即为所求正交矩阵11
（10分）
六．1、设λ是矩阵A的特征值，α≠0是矩阵A的属于λ的特征向量，则有
Aαλα．
所以，AkαAk1AαAk1λαλkα，但是AO，所以λα0，但α≠0，所以λ0．
kk
（3分）（5分）
2、假设ββα1βαr线性有关，则存在不全为零的λ0λ1λr使得
λ0βλ1βα1λrβαr0，
于是λ0λ1λrβλ1α1λrαr，又由于α1α2αr的线性无关性知λ0λ1λr≠0，于是（2分）（4分）
β
1（λ1α1λrαr），这与已知向量β不是方程组AX0的解矛盾。分）（5λ0λ1λr
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