空间距离的方法．
【例4】如图，在长方体AC1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为
A1
4
解析：法1
（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
A
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，ACCD1，AD1，
D1
DE
C1B1
CB
S故AD1C

12
2
5
12

32

而SACE

1AEBC2

12
1
1
13
1
VD1AEC

3
SAEC
DD1

3
SAD1C
h12
hh2
3
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1ECD的平面角设AEx，则BE2－x
在RtD1DH中Q
DHD1

4

DH

1
Q在RtADE中DE1x2
在RtDHE中EHx
D1A1
C1B1
D
A
H
E
CB
f在RtDHC中CH3在RtCBE中CEx24x5
x3x24x5x23
AE2
3时二面角D1

EC

D的大小为4

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则A11，
0，1，D10，0，1，E1，x，0，A1，0，0C0，2，0
（1）因为DA1D1E1011x10所以DA1D1E（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而D1E111AC120，AD1101，
z
D1A1
C1B1
设平面ACD1的法向量为
abc，
则



AC0AD10
也即

aa

2b0c0
，得
aa

2bc
，
Do
xA
E
Cy
B
从而
212，所以点E到平面AD1C的距离为hD1E
2121


33
（3）设平面D1EC的法向量
abc，
∴CE1x20D1C021DD1001
由



D1C0CE0

2bc0abx2

0
令b1
∴c2a2－x，
∴
2x12依题意cos
DD12
2
2
4
DD12
x2252
∴x123（不合，舍去），x223∴AE时，二面角D1ECD的大小为
4
●对应训练分阶提升一、基础夯实
1把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是
Aa
B6a
C3a
D15a
2
3
4
2△ABC中，AB9，AC15，∠BAC120°△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是
14，那么点P到平面α的距离为
A7
B9
C11
D13
3从平面α外一点P向α引两条斜线PAPBAB为斜足它们与α所成角的差是45°它们在α的射影长分别
是2cm和12cm则P到α的距离是
A4cm
B3cm或4cm
C6cm
D4cm或6cm
4空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，
则P与Q的最短距离为
A1a
B2a
C3a
Da
2
2
2
5在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直M是面ABC一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的
距离分别为2、3、6，则点M到顶点Pr