矩阵的分解一、矩阵的三角分解定义31设AF



1若LUF
分别为下三角矩阵和上三角矩阵，ALU则称A可作LU分解。2若LUF
分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D为对角矩阵。
ALDU则称A可作LDU分解。
用Gauss消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i行乘以数k加到第j行（ij）型初等变换就能把A化为上三角矩阵U，则有下三角形可逆矩阵P使
PAU从而有LU分解：AP1U
223例1设A477，求A的LU分解和LDU分解。245
解为求P对下面的矩阵做如下行初等变换：
2AI342223031006
231002231007701003121045001068101100210521
因此
001223P210PA031521006
1
100223令LP210U031121006223则AL031LU006
再利用初等变换，有
f111002A210301612100
就得到ALDU
3213132131
其中
111002L210D3U01612100
一般来说，LULDU分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU和LDU分解的存在性和唯一性。定理31设Aaij
F顺序主子式


则A有惟一LDU分解ALDU的充分必要条件是A的
a12a22a1ka2k0k12
01
a11ka21ak1d1D
ak2akk
d2dkk12
其中kk1d
证明：只证充分性：对A的阶数
进行归纳证明

1Aa111a111L1DU11
所以定理对
1成立，设定理对
1成立，即
Aaij
1
1L
1D
1U
1
则对
将A分块成
AA
T1u
其中
a



a1
a2
a
1
Tu
a
1a
2a
1T
f设
A
1
L
10D
10V
1v
uTalT10d
1

0
比较两边，则有
A
1Lr