幂函数的图像与性质
f【知识结构】
1．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
m
①正数的正分数指数幂a
ama0m、
N且
1
②正数的负分数指数幂
m
a

1
m
a

1a0m、
N且
1
am
③0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质①arasarsa0r、s∈Q②arsarsa0r、s∈Q③abrarbsa0b0r∈Q
3
3

23
5
4

05
2
00083
1
0022
1
032200625025
例2（1）计算：89
；
4
1
a38a3b
2
a3

23
b
a3a2
2
2
（2）化简：4b323aba3
a5a3a
变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）
（1）
2
a3
b1
12

1
a2
6ab5
1
b3

（2）
51a3
6
b2

3a

12
b1


4a
23
1
b32
1
153

70
8025

4
2

3
2

36

2

23
3
6
3
f（三）幂函数1、幂函数的定义形如yxα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1下列函数中不是幂函数的是（）
A．yx
B．yx3C．y2x
D．yx1
例2已知函数fxm2m1x5m3，当m为何值时，fx：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0上的增函数；
（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
变式已知幂函数ym2m1xm22m3，当x0，∞时为减函数，则幂函数y_______．
2幂函数的图像幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和11，在第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
f3、幂函数的性质yxyx2
yx3
1
yx2
yx1
定义域
RR
R
0，）xxR且x0
值域
R0，）
R
0，）yyR且y0
奇偶性单调性
奇偶
奇非奇非偶奇
增x∈0，）时，增增增；
x∈0时，减；
x∈0时，减
x∈0时，减
定点
（1，1）
例3．比较大小：
1
1
（1）152172（2）1231253（3）525152615262（4）053305log305
4幂函数的性质及其应用幂函数y＝xα有下列性质：1单调性：当α＞0时，函数在0，＋∞上单调递增；
当α＜0时，函数在0，＋∞上单调递减．2奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．
f例5已知幂函数yxm2mN的图象与r