并消去du得u曲线的正交轨线的微分方程为EδuFδv0
同理可得v曲线的正交轨线的微分方程为FδuGδv0
16
f微分几何主要习题解答
P130页
1计算悬链面rcoshucosvcoshusi
vu的第一基本形式第二基本形式
解
ru
si
hucosvsi
husi
v1
rv
coshusi
vcoshucosv0
ruu
coshucosvcoshusi
v0
ruv
si
husi
vsi
hucosv0
rv
v
coshucosvcoshusi
v0
E
ru2
cosh2uF
ru

rv
0
G

rv2
cosh
2
u
所以错误未找到引用源。cosh2udu2cosh2udv2



rurv

1
coshucosvcoshusi
vsi
husi
v
EGF2cosh2u
Lcoshu1M0Ncoshu1
si
h21
si
h21
所以错误未找到引用源。du2dv2。
2
计算抛物面在原点的2x3
5x12
4x1x2

2
x
22
第一基本形式第二基本形式
解
曲面的向量表示为
r

x1

x2

52
x12
2x1x2

x
22


rx1
105x1
2x200

100

rx2
012x1
2x200

010

rx1
x1
005
rx1x2
002

rx2
x2
002
E

1
F

0

G

1
L

5

M

2

N
2

错误未找到引用源。dx12dx22错误未找到引用源。5dx124dx1dx22dx22
3求出抛物面z1ax2by2在00点沿方向dxdy的法曲率2
解
rx
10ax00

100

ry
01by00

010

rxx

00
a

rxy
000
17
f微分几何主要习题解答
ryy
00bE1F0G1LaM0Nb沿方向
dxdy
的法曲率k


adx2dx2
bdy2dy2

4．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面rucosvusi
vbv，
ru
cosvsi
v0rv

u
s
i

v
u
cos
v
b
，
ruu
000，
rv
v
ucosvusi
v0，


Lrurvruu0Nrurvrvv0所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u
EGF2
EGF2
族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。
5求曲面zxy2的渐近线
解
曲面的向量表示为
r

x
y
xy
2


rx
10y2
ry
012xyrxx
000
rxy
002yryy
002xE
rx2
1
4y4F

rx
ry
2xy2G
ry2
14x2y2

L0M
2y
N
2x

14x2y2y4
14x2y2y4
渐近线的微分方程为Ldx22MdxdyNdy2即4ydxdy2xdy20一族为dy0即
yc1c1为常数另一族为2ydxxdy即l
x2yc2或x2ycc为常数
6确定螺旋面rucosvusi
vbv上的曲率线
解


rucosvsi
v0rvusi
vucosvb
，
ruu
000，
rvv
ucosvusi
v0，
ruv
si
vcosv0
Eru21，
Frurv0
，
Grv2u2b2，L0M
bu2b2
N0曲率线的微分方程为
18
f微分几何主要习题解答
dv2dudvdu2
1
0
u2b20即dv1du积分得两族曲率线方程
0
b
0
u2b2
u2r