主要习题解答
t2k1,k为整数处曲率半径最大。
P90页1求正螺面rucosvusi
vbv的坐标曲线解u曲线为rucosv0usi
v0bv0{00,bv0}+ucosv0si
v00,
为曲线的直母线;v曲线为ru0cosvu0si
vbv为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面r={a(uv)b(uv)2uv}的坐标曲线就是它的直
母线。证u曲线为ra(uv0)b(uv0)2uv0av0bv00uab2v0
表示过点av0bv00以ab2v0为方向向量的直线
v曲线为r{a(u0v)b(u0v)2u0v}{au0bu00}vab2u0表示过点au0bu00以ab2u0为方向向量的直线。
3.求球面racossi
acossi
asi
上任意点的切平面和法线方程。
解
r
a
si
c
osa
s
i
si
a
c
os
,
r
a
cos
si
a
cos
cos0
xacoscos任意点的切平面方程为asi
cos
acossi
yacossi
asi
si
acoscos
zasi
acos00
即xcoscosycossi
zsi
a0;
法线方程为
xacoscosyacossi
zasi
。
coscos
cossi
si
5.在第一基本形式为错误未找到引用源。du2si
h2udv2的曲面上,求方程为uv的曲线的弧长。
解由条件ds2du2si
h2udv2沿曲线uv有dudv,将其代入ds2得
15
f微分几何主要习题解答
ds2du2si
h2udv2cosh2vdv2,dscoshvdv在曲线uv上,从v1到v2的
弧长为
v2v1
coshvdv
si
h
v2
si
hv1。
6.设曲面的第一基本形式为错误未找到引用源。du2u2a2dv2,求
它上面两条曲线uv0uv0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变
量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲线uv0与uv0的交点为u0v0交点处的第一类基本量为E1,Fv0,Ga2。曲线uv0的方向为dudvuv0的方向为δu
δv设两曲线的夹角为,则有
cos
EduuGdvu
1a2。
Edu2Gdv2Eu2Gv21a2
7.求曲面z
axy上坐标曲线x
x0
y
y0的交角
解曲面的向量表示为rxyaxy坐标曲线xx0的向量表示为
rx0yax0y
,其切向量
ry
0,1,ax
0
;坐标曲线
y
y0
的向量表示为
r
x
y0
ax
y0
,其切向量
rx
1,0,a
y
0
,设两曲线
x
x与y0
y0的夹角为,则
有cosrxry
rxry
a2x0y01a2x021a2y02
6求u曲线和v曲线的正交轨线的方程解对于u曲线dv0设其正交轨线的方向为δuδv则有
EduδuFduδvdvδuGdvδv0将dv0代入r