主要习题解答
t2k1，k为整数处曲率半径最大。
P90页1求正螺面rucosvusi
vbv的坐标曲线解u曲线为rucosv0usi
v0bv0｛00，bv0｝＋ucosv0si
v00，
为曲线的直母线；v曲线为ru0cosvu0si
vbv为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a（uv）b（uv）2uv｝的坐标曲线就是它的直
母线。证u曲线为ra（uv0）b（uv0）2uv0av0bv00uab2v0
表示过点av0bv00以ab2v0为方向向量的直线
v曲线为r｛a（u0v）b（u0v）2u0v｝｛au0bu00｝vab2u0表示过点au0bu00以ab2u0为方向向量的直线。
3．求球面racossi
acossi
asi
上任意点的切平面和法线方程。
解
r

a
si


c
osa
s
i


si



a
c
os
，
r
a
cos
si


a
cos
cos0
xacoscos任意点的切平面方程为asi
cos
acossi

yacossi
asi
si
acoscos
zasi
acos00
即xcoscosycossi
zsi
a0；
法线方程为
xacoscosyacossi
zasi
。
coscos
cossi

si

5．在第一基本形式为错误未找到引用源。du2si
h2udv2的曲面上，求方程为uv的曲线的弧长。
解由条件ds2du2si
h2udv2沿曲线uv有dudv，将其代入ds2得
15
f微分几何主要习题解答
ds2du2si
h2udv2cosh2vdv2，dscoshvdv在曲线uv上，从v1到v2的
弧长为
v2v1
coshvdv

si
h
v2
si
hv1。
6．设曲面的第一基本形式为错误未找到引用源。du2u2a2dv2，求
它上面两条曲线uv0uv0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变
量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1，Fv0，Gu2a2，曲线uv0与uv0的交点为u0v0交点处的第一类基本量为E1，Fv0，Ga2。曲线uv0的方向为dudvuv0的方向为δu
δv设两曲线的夹角为，则有
cos
EduuGdvu
1a2。
Edu2Gdv2Eu2Gv21a2
7．求曲面z

axy上坐标曲线x

x0
y
y0的交角
解曲面的向量表示为rxyaxy坐标曲线xx0的向量表示为
rx0yax0y
，其切向量
ry
0，1，ax
0
；坐标曲线
y

y0
的向量表示为
r
x

y0
ax
y0
，其切向量
rx
1，0，a
y
0
，设两曲线
x

x与y0
y0的夹角为，则
有cosrxry
rxry
a2x0y01a2x021a2y02
6求u曲线和v曲线的正交轨线的方程解对于u曲线dv0设其正交轨线的方向为δuδv则有
EduδuFduδvdvδuGdvδv0将dv0代入r