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左边＝a22si
BcosB＋b22si
AcosA＝a222bRa2＋2ca2c－b2＋b222Rab2＋2cb2c－a2＝
2aRbca2＋c2－b2＋b2＋c2－a2＝2aRbc2c2＝2ab2cR＝2absi
C＝右边，
∴原式得证．题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用
3．已知△ABC的周长为42＋1，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有si
B
＋si
C＝2si
A
1求边长a的值；uuuruuur
2若△ABC的面积为S＝3si
A，求ABAC的值．
解：1由正弦定理，得b＋c＝2a①
又a＋b＋c＝42＋1，②联立①②，解得a＝42∵S△ABC＝3si
A，∴12bcsi
A＝3si
A，即bc＝6
又∵b＋c＝2a＝42，
∴由余弦定理得
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝
b＋c2－2bc－a21
2bc
＝3
uuuruuur∴ABAC＝bccosA＝2
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
层级一学业水平达标
1．在△ABC中，已知a＋b＋cb＋c－a＝3bc，则角A等于
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选B∵b＋c2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
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∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12，∴A＝60°
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝1143，则最大角的余弦值是

1A．－5
1B．－6
1C．－7
1D．－8
解析：选C由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×1143＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为cosA＝b2＋2cb2c－a2＝722＋×372×－382＝－17
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－2aa2b－b20，则△ABC

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形
解析：选C
c2－a2－b2由2ab0得－cos
C0，
所以cosC0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b2－c2＝4，且C＝60°，则ab
的值为
A43
B．8－43
2
C．1
D3
解析：选A由a＋b2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos
C＝2abcos60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝43
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2ta
B＝3ac，则
角B的值为
Aπ6
Bπ3或23π
Cπ3
Dπ6或56π
解析：选B因为a2＋c2－b2ta
B＝3ac，
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所以2accosBta
B＝
3ac，即si

B＝
32，
所以B＝π3或B＝23π，故选B6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2ar