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∴c2＝a2＋b2＋ab，
由余弦定理可得，cosC＝a2＋2ba2b－c2
a2＋b2－a2＋b2＋ab
ab1
＝
2ab
＝－2ab＝－2，
∵0°C180°，∴C＝120°，故选C
利用余弦定理判断三角形形状
典例在△ABC中，若b2si
2C＋c2si
2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．
解：法一化角为边
将已知等式变形为
b21－cos2C＋c21－cos2B＝2bccosBcosC
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2a2＋2ba2b－c22－c2a2＋2ca2c－b22＝2bc×a2＋2ca2c－b2×a2＋2ba2b－c2，
∴b2＋c2＝
a2＋b2－c2
＋a2＋c2－b24a2
2＝44aa24＝a2
∴A＝90°∴△ABC是直角三角形．
法二化边为角
由正弦定理，已知条件可化为
si
2Csi
2B＋si
2Csi
2B＝2si
Bsi
CcosBcosC
又si
Bsi
C≠0，
∴si
Bsi
C＝cosBcosC，即cosB＋C＝0
又∵0°B＋C180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°
∴△ABC是直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径1化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．2化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
活学活用
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在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝c2＋2ac2a－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，代入已知条件得ab2＋2cb2c－a2＋bc2＋2ac2a－b2＋cc2－2aa2b－b2＝0，通分得a2b2＋c2－a2＋b2a2＋c2－b2＋c2c2－a2－b2＝0，展开整理得a2－b22＝c4∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2根据勾股定理知△ABC是直角三角形
正、余弦定理的综合应用
题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asi
A＋csi
C－2asi
C＝bsi
B1求角B的大小；2若A＝75°，b＝2，求a，c解：1由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
故cos
B＝
22，因此
B＝45°
2si
A＝si
30°＋45°
＝si
30°cos45°＋cos30°si
45°＝
2＋4
6
故由正弦定理得a＝bssii

AB＝1＋
3
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝bssii

Csi
B＝2×si

60°45°＝
6
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2．在△ABC中，求证a2si
2B＋b2si
2A＝2absi
C
证明：法一：化为角的关系式a2si
2B＋b2si
2A＝2Rsi
A22si
BcosB＋2Rsi
B22si
AcosA＝8R2si
Asi
Bsi
AcosB＋cosAsi
B＝8R2si
Asi
Bsi
C＝22Rsi
A2Rsi

Bsi
C＝2absi
C
∴原式得证．
法二：化为边的关系式
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