见，非常数
列的等比数列的前
项和S
是由关于
的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a1≠0，所以S
a1是
的正比例函数（常数项为0的一次函数）2当q≠1时，数列S1S2S3…S
…的图像是函数yAqxA图像上的一群孤立的点当q1时，数列S1S2S3…S
…的图像是正比例函数ya1x图像上的一群孤立的点
知能自主梳理
1等比数列前
项和公式
（1）等比数列a
的前
项和为S
当公比q≠1时，S



2推导等比数列前
项和公式的方法是

2公式特点
（1）若数列a
的前
项和S
p1q
p为常数，且q≠0q≠1，则数列a
为（2）在等比数列的前
项和公式中共有a1a
qS
五个量，在这五个量中知

［答案］1（1）a11q
1q
a1a
q1q

a12错位相减法
当q1时，S
求
2（1）等比数列（2）三二
思路方法技巧
命题方向等比数列前
项和公式的应用［例1］设数列｛a
｝是等比数列，其前
项和为S
且S33a3求此数列的公比q
f［分析］应用等比数列前
项和公式时，注意对公比q的讨论
［解析］当q1时，S33a13a3符合题目条件；
当
q≠1
时，
a11q31q
3a1q2
因为a1≠0所以1－q33q21q2q33q210q122q10
解得q12
综上所述，公比q的值是1或－12
［说明］（1）在等比数列中，对于a1a
q
S
五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量（2）等比数列前
项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q1或q≠1两种情况讨论
（3）等比数列前


项和公式中，当
q≠1
时，若已知
a1q

利用
S

a11q
1q
来求；若已知
a1a
q利用
S

a1a
q1q
来求
变式应用1在等比数列a
中已知S37S663求a
22
［解析］
∵S6
632
S3
72

∴S6≠2S3，∴q≠1
a11q37
①
1q2
∴
a11q663
②
1q2
②÷①得1q39∴q2
将
q2
代入①，得
a1
12

∴a
a1q
12
2
命题方向等比数列前
项的性质
［例2］在等比数列a
中，已知S
48S2
60求S3
［分析］利用等比数列前
项的性质求解
［解析］∵a
为等比数列，∴S
S2
S
S3
S2
也成等比数列，
∴S2
S
2S
S3
S2

∴S3

S2
S
2S

S2

60
48248
6063
［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列
f变式应用2等比数列a
中，S27，S691求S4
［解析］解法一：∵a
为等比数列，∴S2，S4S2，S6S4也为等比数列，
∴（S47）27×（91S4），解得S428或21
∵S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2S2S2q2S2r