1)、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项;
数列是特殊的函数:定义域:正整数集N(或它的有限子集1,2,3,…,
),
值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式;
(2)、通项公式:数列a
的第
项a
与
之间的函数关系式;例:数列1,2,…,
的通项公式a
1,1,1,1,…,的通项公式a
1
1;
0,1,0,1,0,…,的通项公式a
1
1
2
(3)、递推公式:已知数列a
的第一项,且任一项a
与它的前一项a
1(或前几项)间的关系用一个
公式表示,这个公式叫递推公式;例:数列
a
:a1
1,a
1
1a
1
,求数列
a
的各项。
(4)、数列的前
项和:S
a1a2a3a
;
数列前
项和与通项的关系:a
aS1
S1
S
1
1
2
(二)、等差数列:(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
(2)、通项公式:a
a1
1d(其中首项是a1,公差是d;整理后是关于
的一次函数),
(3)、前
项和:1.S
a1a
2
2
S
a1
1d(整理后是关于2
的没有常数项的二次函数)
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(4)、等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。即:Aab或2Aab
2说明:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项
的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
(5)、等差数列的判定方法:
①、定义法:对于数列a
,若a
1a
d常数,则数列a
是等差数列。②、等差中项:对于数列a
,若2a
1a
a
2,则数列a
是等差数列。
(6)、等差数列的性质:
①、等差数列任意两项间的关系:如果a
是等差数列的第
项,am是等差数列的第m项,且m
,公
差为d,则有a
am
md
②、等差数列a
,若
mpq,则a
amapaq。
a1a
也就是:a1a
a2a
1a3a
2,如图所示:a1a2a3a
2a
1a
a2a
1
③、若数列a
是等差数列,S
是其前
项的和,kN,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列。
S3k
r