关系是
A相交C垂直
B平行D不能确定
解析：因为正方体的棱长为a故面对角线A1BACa而A1MANa，所以M、N分别是A1B和AC上的
三等分点在B1B、BC上各取点E、F，使得B1EBFa
则

但－
－
－
，
f－
－
－
，
∴



0，
∴，即MN∥EF，
∴MN∥平面BB1C1C答案：B
（中等题）
5，如图在长方体ABCDA1B1C1D1中已知AB4AD3AA12E、F分别是线段AB、BC上的点，且
EBFB1，求直线EC1与FD1所成的余弦值
D1
解：以DADCDD1分别为xyz轴建立坐标系，则E（3，3，0）、
A1
C1（0，4，2）、
D
D1（0，0，2）、F（2，4，0）从而EC1＝（－3，1，2）、FD1＝
A
（－2，－4，2）
C1B1
CFEB
所以直线EC1与FD1所成的余弦值为
cosEC1FD1
＝EC1FD1＝21EC1FD114
6，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧
棱AA12，DE分别是CC1，与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是
ABD的重心G，（1）求A1B与平面ABD所成角的正弦值；（2）求点A1到平面ABD的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设A1a00，
则B10a0，Aa02，B0a2，C002，
∵DE分别是CC1，与A1B的中点，
∴D001Eaa1，∵G是ABD的重心，22
Gaa5，∴EGaa2，ABaa0，
333
663
Bz
AxGC
E
D
yA1
B1
C1
fAD0a1，∵EG平面ABD，EGABEGAD
得a2，且A1B与平面ABD所成角EBG，EG
6，3
BE

12
BA1

3，si
EBGEG2，BE3
（2）E是A1B的中点，A1到平面ABD的距离等于E到平面ABD的距离的两倍，
∵
EG
平面
ABD，
A1到平面
ABD的距离等于2
EG

263
．
小结：根据线段A1B和平面ABD的关系，求点A1到平面ABD的距离可转化为求E到平面ABD的
距离的两倍．
（难题）
7，如图在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题
1求证：EF⊥B1C；2求EF与C1G所成的角的余弦；3求FH的长分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度
解：如图建立空间直角坐标系O－xyzD为坐标原点O，依据已知有E0，0，，F，，0，
C0，1，0，C10，1，1，B11，1，1，G0，，0
1证明：，，0－0，0，，，－，0，1，0－1，1，1－1，0，－1，
由×－1×0－×－10，
f得⊥，∴EF⊥B1C
2解：0，，0－0，1，10，－，－1，
r