法Newto
method又称为牛顿拉夫逊方法Newto
Rapfso
method，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程
的近似根就显得特别重要方法使用函数fx的泰勒级数的前面几项来寻找方程
fx0的根牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程
fx0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根
另外该方法广泛用于计算机编程中：
解非线性方程fx0的牛顿Newto
法是把非线性的方程线性化的一种近
似方法把fx的x0点附近展开泰勒Taylor）级
f
x
f
x0
f
xx0
fx0xx02
fx0
2
；
取其线性部分作为非线性方程fx0的近似方程，则有：
fx0fx0xx00；设fx00，则其解为：
x1x0fx0fx0；再把fx在x1附近展开泰勒Taylor级数，也取其现行部分作为fx0的近似方程若fx10，则得：
x2x1fx1fx1；
这样，得到牛顿Newto
法的一个迭代序列：
y
x
1x
fx
fx
；
牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示：
x
O
xx1x0
1
f洛阳师范学院本科毕业论文
当选取初值x0以后，过x0fx0做fx的切线，其切线方程为：
yfx0fx0xx0；
求此切线方程和x轴的交点，即得：
x1x0fx0fx0；
牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法例：用牛顿法求下面方程的根
fxx32x210x200；
解：因fx3x24x10，所以迭代公式为：
x
1x
x32x210x203x24x10；
选取x01计算结果列表：
N
牛顿法
弦位法
抛物线法
0
1
1
1
1
141176470588235315000000000000001500000000000000
2
136933647058823513544303797468361250000000000000
3
136880818861753213682702596546871368535857721367
4
136980810782137513688103503938871368807906820180
5
136880810782137313688081074722171368808107821681
6
136880810782137313688081078213731368808107821373
7
13688081078213731368808107821373
从结果可以看出，牛顿法的收敛是很快的，x5误差1015但用牛顿法计算工作量比较大，因每次计算迭代除了计算函数值外还要计算微商值为此我们提出了简化牛
顿法：其公式为x
1x
fx
fx0；用上面的公式计算，不再需要每步重新
计算微商值，所以计算量小一些，但收敛也要慢一些为了避免计算导数还可以采用差商代导数的方案：
x
1

x


f

x

f

x
f

x
1


x

x
1；
关于牛顿迭代的收敛有下面结果：如果fx在零点附近存在连续的二阶微商，
是fx的一重零点，且初始x0充分接近于r