关于牛顿迭代法的课程设计实验指导
非线性方程（或方程组）问题可以描述为求x使得fx0。在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿拉夫逊方法（Newto
Raphso
method），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。方法的基本思路是利用一个根的猜测值
x0做初始近似值，使用函数fx在x0处的泰勒级数展式的前两项做为函数fx的近似表达式。由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程fx0中的fx求得近似解x1。即将方程fx0在x0处局部线性化计算出y近似解x1，重复这一过程，将方程fx0在x1处局部线性化计算出x2，求得近似解x2，……。详细叙述如下：假设方程的解x在x0附近（x0是方程解x的近似），函数fx在点x0处的局部线化
表达式为
fxfx0xx0fx0
由此得一次方程
x
O
fx0xx0fx00
求解，得
x
x1
x0
图1牛顿迭代法示意图
x1x0
fx0fx0
如图1所示，x1比x0更接近于x。该方法的几何意义是：用曲线上某点（x0，y0）的切线代替曲线，以该切线与x轴的交点（x1，0）作为曲线与x轴的交点（x，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。设x
是方程解x的近似，迭代格式
x
1x

fx
fx

0，1，2，……
就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是收敛速度快，具有二阶收敛。以著名的平方根算法为例，说明二阶收敛速度的意义。例1．已知214，求2等价于求方程fxx20的解。由于fx2x。应用牛顿迭代法，得迭代计算格式
2
x
1
1x
2x
，（
0，1，2，……）2
取x014为初值，迭代计算3次的数据列表如下表1牛顿迭代法数值实验迭代次数近似值15位有效数012314141428571428571141421356421356141421356237309141421356237310141421356237310141421356237310141421356237310
误差142e002721e005184e009222e016
f其中，第三栏15位有效数是利用MATLAB的命令sqrt2计算结果。观察表中数据，第一次迭代数据准确到小数点后四位，第二次r