1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
我们证明
1
1
1
1
1
11
2
111121
1
1
12
1
1
112
最后不等式显然成立
当
时1
1
e1
1
1
e故1
1
e
1
1
1
9求极限
flim
1
122
1
132
1
142
1
1
2
解1
122
1
132
1
142
1
1
2
132435
11
11
223344
22
10作函数f
x
lim
x
x2
a
a
0的图形
解f
x
lim
x
x2
a
01
x
xx
00
11在关于有界函数的定义下证明函数fx在区间ab上为有界函数的充要条件
为存在一个正的常数M使得fxMxab
证设存在常数M1N使得M1fxNxab取MmaxM1N1则有fxMxab
反之若存在一个正的常数M使得fxMxab则MfxMxab
12证明若函数yfx及ygx在ab上均为有界函数则fxgx及fxgx
也都是ab上的有界函数
证存在M1M2fxM1gxM2xabfxgxfxgxM1M2fxgxfxgxM1M2xab13证明fx1cos在x0的任一邻域内都是无界的但当x0时fx不是无穷大量
xx
证任取一个邻域0和M0取正整数
满足1和
M则f1
M
故f
x在无界但是x
12
12
0
f
x
2
12cos2
12
0
故当x0时fx不是无穷大量
f1
14证明lim
x
1l
xx0
1
证令x
1
y
则
1
l
x
l
1
y
l
xlim
l
1y
y
lim
1
x
1
0
注意到liml
1
y
liml
1
1
yy
l
lim1
1
yy
l
e
1
y0
y
y0
y0
1
我们有
x
1
y
l
x
l
x
l
1y
15设fx及gx在实轴上有定义且连续证明若fx与gx在有理数集合处处
相等则它们在整个实轴上处处相等
证任取一个无理数x0取有理数序列x
x0
f
x0
lim
f
x
lim
gx
gx0
16证明lim1x0
cosx2
x
12
证
lim
x0
1
cosx2
x
lim
x0
2si
2x2
x2
lim
y0
2si
24y2
y
1
2
lim
y0
si
y
y
2
12
12
12
17证明1liml
1y12limexaexea
y0
y
x0
x
证1lim
l
1
y
liml
1
1
yy
l
lim1
1
yy
l
e
1
y0
y
y0
y0
exa2lim
ea
eaexlim
1
ealimex
1ea
lim
y
ea
1
x0
x
x0
x
x0x
y0l
1y
liml
1y
y0
y
ea1ea1
18设yfx在a点附近有定义且有极限limfx0又设ygx在a点附近有xa
定义且是有界函数证明limfxgx0xa
证设r
