yRdz只依赖于曲线L的端点，而与积分
L
（D）

C
PdxQdyRdz0；
B存在上某个三元函数uxyz使得duPdxQdyRdz
C等式
PQRPQR在开区域内恒成立yxxzzy
fD等式
PQR0在开区域内恒成立xyz
9设函数fxy在开区域D内有二阶连续偏导数且fxx0y0fyx0y00则下列为fxy在点x0y0处取极小值的充分条件的是Afxxx0y00fxxx0y0fyyx0y0fBfxxx0y00fxxx0y0fyyx0y0fCfxxx0y00fxxx0y0fyyx0y0fDfxxx0y00fxxx0y0fyyx0y0f
2xy
A

x0y00x0y00x0y00x0y00
ADfxxfyyfzz
2
xy
2
xy
2
xy
10设函数ufxyz具有二阶连续偏导数则divgradfAfxxfyyfzzBfxfyfzCfxfyfz
三、计算题10×312×254分11设平面xayzb0通过曲面zx2y2在点112处的法线L求ab的值解设Fxyzxyz则曲面S在点112处的法向量为
22
FxFyFz1122x2y1221221
由题设可知平面∏通过法线L故
ab1351a2b01a12210即由此解得ab222a30
12计算第二类曲线积分

L
ydxxdy其中L为正方形边界xy1取顺时针方向x2y2
解令Pxy
yx则IPdxQdyQxy22Lxyxy2
2
Qx2y2P当xy0时取一小圆周Cx2y220充分小222xxyy
22
使得C完全位于L所围成的区域内取逆时针方向。设D为由L与C所围成的区域则由Gree
公式得

LC
PdxQdy
D
QPdxdy0所以xy
fPdxQdy
L
C
PdxQdy
2
si
si
coscos
0
2
d


2
0
d2
13计算第一类曲面积分


zdS其中∑为圆柱面x2y2R2R0介于平22xyz
2
面z0与zhh0之间的部分解法一设xRcosuyRsi
uzv则∑对应于D0u20vh
xuRsi
uyuRcosuzu0xv0yv0zv1故ER2F0G1
EGF2R于是原式
D
2hvvRdudvRdudv22200RvRv2
h1R2h2R2l
R2v2Rl
R2h22lr