R2Rl
02R
解法二S1x
R2y2yzDyzRyR0zh
22xz01xyxz
xy
yRy
22
RRy
22
由对称性有

zzdS22222xyzDyzRz
2
RR2y2
dydz2R
R
dyR2y2
R

h
0
zdzRz2
2
Rarcsi

yR
RR
hl
R2z202R

2
l

R2h2R2h22Rl
RR21
的和
02
1

14将函数fxarcta
x展开成x的幂级数并求级数
1
2
1x1
x2
1x2
0
0
解∵fx
∴fx

x
0
ftdtf01
t2
d1
x
00
0


x2
1此级数的收敛域为2
1
11又因为fx在x1处连续令x1可得
1
f14
02
1
x15设函数fu具有二阶连续导数且zfesi
y
f1求
2z2zx2y2
解∵
zuzufufuexsi
yfufuexcosyxxyy
2z2z2x2xfuesi
yfuesi
y∴22fue2xcos2yfuexsi
yxy
2若函数zfexsi
y满足方程
2z2z2e2xz求函数fu2xy
解将1中结果代入方程得fue2xe2xz即fufu0这是一个二阶常系数线性齐次微分方程相应的特征方程为10特征根为1121
2
故fuC1euC2eu其中C1C2为任意常数。
四、应用题10×16×116分
16将一根长为l的铁丝分割成两段一段围成一个圆另一段围成一个长方形求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法解设所围成的圆的半径为x长方形的长、宽分别为yz。原问题转化为求函数
Sx2yz在条件2x2yzl下的最大值。为此构造Lagra
ge函数Lxyzx2yz2x2y2zl。Lx2x20
Lyz20Lzy20L2x2yzl0。得xyz2
代入L0
lllxyz28284
217已知一条非均匀金属线L放置于平面Oxy上刚好为抛物线yx对应于0x1的
那一段且它在点xy处的线密度xyx求该金属丝的质量解M

L
xydsx14x2dx
0
1
114x2212
310

155112
五、证明题6×14×110分
18证明级数
1
1



l

1条件收敛

f证r