的特解为：yxAe
2x
代入原式得：A
2x
112xe故yx1212
因此非齐次方程的通解为：YxC1eC2e
x

12xe12
14计算二重积分中
y22
e
D

y22
dxdy其中D是由直线x0、y1及yx所围成的区域
y22
解：
e
D

dxdydye
00
1
y
dx
e
0
1
y22
ydy1e

12
15计算三重积分
x2y2z2R2
x
2
y2xzdxdydz其中常数R0
f解
2
xyzR
x
22
2
y2xzdxdydz
2

x2y2z2R2

x2y2dxdydz
x2y2z2R2

xzdxdydz（对称性）
8R515

x2y2z2R2

x2y2dxdydz
ddr4si
3dr
000
2

R

提示：本题可以化为：
xyzR
2

2
x2y2dxdydz
2
2
x2y2z2R2

xzdxdydz（对称性）
8R515

x2y2z2R2

x2y2dxdydz

2x2y2z2dxdydz3x2y2z2R2
x

16计算第二型曲线积分I
e
C
si
y2ydxexcosy2dy其中C为上半圆周
x2y2ax方向为从Aa0到O00常数a0
解设C为上半圆周，方向为逆时针。添加OA有向线段，则C与OA构成一个平面区域D在D上应用Gree
公式：I

COA
OA
exsi
y2ydxexcosy2dy

D
1a2xecosy2exsi
y2ydxdy0dx2dxdyD04xy
17设抛物面z1x2y2z0方向取其上侧计算
2xdydz2ydzdx2dxdy
33
解：补充平面0z0x2y21取下侧，则0与围成空间区域于是
I
00
2xdydz2ydzdx2dxdy6x
33
2
y2dv2

6ddr
00
2
1
r10
2
r3dz212r3r5dr23
0
1
18将fx
1展开为x2的幂级数并求该幂级数的收敛域12x
2
12x2x2
133
03
0
111解12x312x23
解出得收敛域为


7122
f四、应用题8分19在椭圆x24y24上求一点使该点到直线2x3y120的距离最短解：设xy为椭圆x24y24上任一点，则该点到直线2x3y120的距离为
d
122x3y13
令L122x3y2x24y24，于是由：
Lx4122x3y2x0Lyr