………3分3
（2）∵S△OMP1×OM×2t，
2
3
∴S1×（6t）×2t1t22t＝1t323（0t6）．
2
33
3
∴当t3时，S有最大值．…………………………………………8分
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：y4x．3
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：ybxb，3
解方程组


yy

43

x
b3
x

b
得


xy

3b4b
4b4b
∴直线ON与MT的交点R的坐标为3b4b．4b4b
∵S△OCN＝1×4×3＝6，∴S△ORT＝1S△OCN＝2．…………………10分
2
3
一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，
则S△OR1T1＝1RD1OT＝13bb＝2
2
24b
∴3b24b160，b2213∴b1＝2213，b2＝2213（不合题意，舍去）
3
3
3
此时点T1的坐标为（0，2213）……………………………………………15分3
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，
∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为3b12，
y
b
T2
作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
ED2N
S△R2NE＝1END2133b1244b96＝2C
B
2
2
b
4bb4b
T1R1R2
∴b24b480，b4164482132
D1
P
2
∴b1＝2132，b2＝2132（不合题意，舍去）．
O
M
Ax
∴此时点T2的坐标为（0，2132）．
（备用图）
综上所述，在y轴上存在点T1（0，2213），T2（0，2132）符合条件．…20分3
15证明：（1）∵ap2bq
∴qapb代入抛物线yx2pxq中，得yx2bpxa0
2
2
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得
x
y
a2
x20
b

0
解得：
x

y

a
a2
2
4
4b
，
故抛物线yx2pxq通过定点aa24b……………………10分24
（2）∵2qap2b，∴p24qp222qp22ap2b
p22ap4bp22apa2a24b
pa2a24b
∴p24qa24bpa20
∴p24q与a24b中至少有一个非负∴x2axb0与x2pxq0中至少有一个方程有实数根…………20分
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