k2）9k212k6＝93k23k24k2∴对任意整数
，M都是9的倍数。例4求证：方程x2－3y217没有整数解证明：设整数x按模3分类讨论，①当x＝3k时，（3k）2－3y21733k2－y217
f⑵当x3k±1时，（3k±1）2－3y21733k2±2k－y216由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y217没有整数解例5求证：不论
取什么整数值，
2
1都不能被5整除证明：把
按模5分类讨论，当
5k时，
2
15k25k155k2k1当
5k±1时，
2
1＝（5k±1）2＋5k±1＋1＝25k2±10k15k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1当
5k±2时，
2
1＝（5k±2）2＋5k±2＋1＝25k2±20k45k±2＋1＝5（5k2±4kk1）±2综上所述，不论
取什么整数值，
2
1都不能被5整除又证：
2
1＝
11∵
1是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6∴
2
1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。
练习161已知a3k1b3k2c3kabck都是整数填写表中各数除以3的余数。abacabac2a2ba2b2b3b5ab5
2376÷7的余数是＿＿＿＿＿3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？4．已知m
都是正整数，求证：3
m
22（a2－1）
5已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24
（提示a可表示为除以6余1或5，即a6k±1）6．把正整数按表中的规律排下去，问100一二三四五将排在哪一列？答：＿＿＿12347．已知正整数
不是4的倍数8765求证：1
＋2
＋3
＋4
是10的倍数91011128任给5个整数，必能从中找到3个，16151413其和能被10整除，这是为什么？9对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是3的倍数，试说明理由。10．任意10个整数中，必有两个它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意
＋1个，则必有两个它们的差是
的倍数，试说明理由。11证明x2y28z6没有整数解（1990年德化县初中数学竞赛题）12从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止即1234
198位
那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题）
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