初中数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类
内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A除以m的余数。即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数0≤余数除数例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。）2．显然，整数除以正整数m它的余数只有m种。例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝｛2k－1｝（k为整数）m3时，分为三类，记作｛3k｝｛3k1｝｛3k2｝或｛3k｝｛3k1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。m5时，分为五类，｛5k｝｛5k1｝｛5k2｝｛5k3｝｛5k4｝或｛5k｝｛5k±1｝｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：①（3k11）3k213k1k22（余数1＋1＝2）②（4k11）4k2344k1k23k1k23（余数1×3＝3）222③（5k±2）＝25k±20k455k±4k4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：∵17除以5余2∴176除以5的余数是4（26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关是正确选用模m。例题例1今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m7求99除以7的余数解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，∴99天后是星期一。又解：设｛A｝表示A除以7的余数，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1例2设
为正整数，求43
1除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式解：43
1＝4×43
4×43
4×（64）
＝4×9×7＋1
∵9×7＋1
除以9的余数是1
1∴43
1除以9的余数是4。例3求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为
－1
1M
－13
3
133
22把整数
按模3，分为三类讨论。当
3k（k为整数，下同）时，M＝3×3k［3k22］9k9k22当
3k1时，M＝3（3k1）［3k122］＝3（3k1）9k26k393k13k22k1当
3k2时，M＝3（3k2）［3k222］＝3（3r