由
得
，
取，得
，
，
同理可求得平面的法向量为
，
设二面角
的平面角为，
则
，
所以二面角
的余弦值为
【点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题。
20．已知点
，直线
为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为
点，且

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于
的取值范围
四点求
【答案】（1）
2
f【解析】（1）设动点
，则
，由
展开计算得到的
关系式即可；2当直线的斜率不存在（或者为0）时，可求出
四点坐标，
即可得到
；当直线的斜率存在且不为0时，设为，直线的方程为
，与轨迹的方程联立，结合根与系数的关系可得到的表达式，然后
利用函数与导数知识可求出【详解】
的取值范围。
（1）设动点
，则
，
由所以
，则
，
，
化简得

故点的轨迹的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，
轴，
可设
，
，
当直线的斜率为0时，
轴，同理得
，
当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：
，
设
，由
得
，
则
所
以
f，
则
，
直线的方程为：
，
同理可得：
，
所以令
，则
，
，
由
，得；
，得
；
在上单调递减，在
上单调递增
，
又
，故

综上所述，
的取值范围是

【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查
了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题。
21．已知函数
，

f（1）讨论的单调性；
（2）定义：对于函数，若存在，使
成立，则称为函数的不动点如果
函数
存在不动点，求实数的取值范围
【答案】1见解析；2
【解析】1对函数求导，结合二次函数的性质讨论的范围，即可判断的单调性；
2由存在不动点，得到
有实数根，即
有解，构造函数令
可得到的范围。【详解】
，通过求导即可判断的单调性，从而得到的取值范围，即
1的定义域为
对于函数
，
①当
时，即
时，
，在恒成立
在
恒成立
在
为增函数；
②当，即或时，
当时，由
，得
或
，
，
在
为增函数，
减函数
为增函数，
当时，由
在
在
为增函数。
恒成立，
f综上，当时，在
为增函数，
减函数，
（2）
为增函数；当时，在
为增函数。
，
存在不动点，方程
有实数根，即
有解，
令
，
，
令
，得，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
，
当r