上,且BE3ED.(1)求证:AE⊥BC;(2)若二面角BAEC的大小为120°,求k的值.
考点:二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)过E点作EF⊥BC与点F,连AF,由已知条件得EF∥DC,从而EF⊥平面ABC,进而EF⊥BC,又AF⊥BC,由此能证明BC⊥AE.(2)法一(空间向量法)以F为原点,FA为x轴,FC为y轴,FE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出k的值.法二:(综合几何法)过F作FG⊥AE于G点,连GC,GB,由AE⊥BC,得AE⊥平面BCG,所以AE⊥CG,AE⊥BG,所以∠BGC为BAEC的平面角,由此能求出能求出k的值.解答:(Ⅰ)证明:过E点作EF⊥BC与点F,连AF,由已知条件得EF∥DC所以EF⊥平面ABC,又BC平面ABC,所以EF⊥BC;又∠BAC90°,所以所以,,所以∠ABF30°,,,
,所以△BAF与△BCA相似,所以∠BFA90°,即AF⊥BC,
又AF∩EFF,于是BC⊥平面AEF,又AE平面AEF,所以BC⊥AE.(2)解法一(空间向量法)如图,以F为原点,FA为x轴,FC为y轴,FE为z轴,建立空间直角坐标系,
f则于是(
,,0,),(
,,,0),(
,,,0),
,
设平面ABE的法向量为
(x1,y1,z1),
则
,令z11,得
(
,
,1).
设平面ACE的法向量为
(x2,y2,z2),
则
,令z21,得
(
),
,解得:
.
解法二:(综合几何法)过F作FG⊥AE于G点,连GC,GB,由AE⊥BC,得AE⊥平面BCG,所以AE⊥CG,AE⊥BG,所以∠BGC为BAEC的平面角,设AC1,则,所以,
于是
,
,
于是由
,得到
.
f点评:本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.20.(14分)已知数列a
中,a11,且a
(1)求数列的通项公式;
a
12
3
2
(
≥2,
∈N).
(2)令b
(
∈N),数列b
的前
项和为S
,试比较S
与
的大小,并证明.
考点:数列的求和;数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)由a
a
12
3
2
,可得
,利用“累加求和”与等
比数列的前
项和公式即可得出;(2)b
,可得…,记函数f(
)
…
,可
得f(
1)f(
)<0,即可得出.解答:解:(1)由a
a
12
3
2
,可得
,
∴
…
2×3
2
2×3
3
…2×3
11
1
13
1
,
又a11,故.
f(II)b
记函数f(
)
,则
…
…
,
,
则f(
1)f(
)∴f(
1r