第2章平稳随机过程
2．1
平稳随机过程的基本概念
引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。随机过程Xt，当t变化时，得一系列随机变量：Xt1，Xt2，……Xt
。，各Xti具有相同的Xt具有“平稳”性，是指Xti的变化稳定，不“大起大落”分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。在统计学中，Xt1，Xt2，……Xt
往往假设满足“独立同分布”（iid）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。
2．1．1
一、定义
严平稳过程及其数字特征
随机过程Xt的
维概率密度（或
维分布函数）pXx1x2x
t1t2t
不随时间起点选择不同而改变。即：对任何
和，过程Xt的概率密度满足：
pXx1x2x
t1t2t
pXx1x2x
t1t2t
则称Xt为严平稳过程。二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程Xt的一维概率密度与时间无关；严平稳过程Xt的二维概率密度只与
t1、t2时间间隔t2t1有关。
证明：当
＝1时，对任何，有pXx1t1pXx1t1。取t1，则有pXx1t1pXx1t1pXx1t1t1pXx10pXx1。当
＝2时，对任何，有pXx1x2t1t2pXx1x2t1t2。取t1，t2t1，则pXx1x2t1t2pXx1x20t2t1pXx1x2。三、严平稳过程的数字特征（1）若Xt是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
21
f证明：mXtEXt




xpXxtdxxpXxdxmX


2EX2tx2pXxtdxx2pXxdxX2DXtxmX2pXxdxX
（2）若Xt是严平稳过程，则它的自相关函数RXt1t2只是间间隔t2t1的单变量的函数。证明：
RXt1t2EXt1Xt2
＝



x1x2pXx1x2t1t2dx1dx2



x1x2pXx1x2dx1dx2RX
2．1．2
宽平稳过程
引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、定义若随机过程Xt的数学期望为一常数，其自相关函数RXt1t2只与时间间隔tr