第2章平稳随机过程
2．1平稳随机过程的基本概念
引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。
随机过程Xt，当t变化时，得一系列随机变量：Xt1，Xt2，……Xt
。Xt具有“平稳”性，是指Xti的变化稳定，不“大起大落”，各Xti具有相同的
分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，Xt1，Xt2，……Xt
往往假设满足“独立同分布”（iid）。“独立”
性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。
2．1．1严平稳过程及其数字特征
一、定义
随机过程Xt的
维概率密度（或
维分布函数）pXx1x2x
t1t2t
不随时间起点选择不同而改变。即：对任何
和，过程Xt的概率密度满足：pXx1x2x
t1t2t
pXx1x2x
t1t2t
则称Xt为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度
结论：严平稳过程Xt的一维概率密度与时间无关；严平稳过程Xt的二维概率密度只与t1、t2时间间隔t2t1有关。证明：当
＝1时，对任何，有pXx1t1pXx1t1。取t1，则有pXx1t1pXx1t1pXx1t1t1pXx10pXx1。当
＝2时，对任何，有pXx1x2t1t2pXx1x2t1t2。取t1，t2t1，则pXx1x2t1t2pXx1x20t2t1pXx1x2。
三、严平稳过程的数字特征
（1）若Xt是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
21
f

证明：mXtEXtxpXxtdxxpXxdxmX
EX2t
x2

pX
xtdx

x2

pX
xdx


2X
DXt

x


mX
2
pX
xdx


2X
（2）若Xt是严平稳过程，则它的自相关函数RXt1t2只是间间隔t2t1的单变量
的函数。证明：
RXt1t2EXt1Xt2x1x2pXx1x2t1t2dx1dx2
＝x1x2pXx1x2dx1dx2RX
2．1．2宽平稳过程
引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、定义
若随机过程Xt的数学期望为一常数，其自相关函数RXt1t2只与时间间隔t2t1
有关，且它的均方值有限，即：
EXtmX
RXt1t2EXt1Xt2RXEX2t
则称Xt为宽平稳过程（或广义平稳过程）。
二、举例：
例1设随机过程Xtacos0t，a与0为常数，为在02上均匀分布的随
机变量，证明Xt是平稳过程。
2
证明：mXtEXt＝Eacos0t0acos0tpd
＝
20
a
cos0t



12
d
0
RXt1t2RXttEXtXr