全球旧事资料 分类
AE、CE,D1O,设正方体DB1的棱长为a,易证AECE.
6
f又∵AOOC,∴OEAC.
在正方体DB1中易求出:
2
D1O
DD12DO2
a2
22
a

6a,2
OE
BE2OB2

a2
2


22
2a

3a,2
D1ED1B12B1E2
2a2a23a.22
∵D1O2OE2D1E2,
∴D1OOE.
∵D1OACO,D1O、AC平面ACD1,
∴OE平面ACD1.
说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.
典型例题四
例4如图,在△ABC中,B90,SA平面ABC,点A在SB和SC上的射影分别为M、N,求证:MNSC.
分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思
想.欲证SCMN,可证SC面AMN,为此须证SCAN,进而可转化为证明AN平面SBC,而已知ANSB,所以只要证ANBC即可.由于图中线线垂直、线面垂直关
系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直.
证明:∵SA面ABC,BC平面ABC,∴SABC.∵B90,即ABBC,BASAA,∴BC平面SAB.∵AN平面SAB.∴BCAN.
7
f又∵ANSB,SBBCB,∴AN平面SBC.∵SC平面SBC,∴ANSC,又∵AMSC,AMANA,∴SC平面AMN.∵MN平面AMN.∴SCMN.另证:由上面可证AN平面SBC.∴MN为AM在平面SBC内的射影.∵AMSC,∴MNSC.
说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证
明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现
的.本题若改为下题,想想如何证:已知SA⊙O所在平面,AB为⊙O的直径,C为⊙O上任意一点(C与A、B不重合).过点A作SB的垂面交SB、SC于点M、N,求证:ANSC.
典型例题五
例5如图,AB为平面的斜线,B为斜足,AH垂直平面于H点,BC为平面内
的直线,ABH,HBC,ABC,求证:coscoscos.
分析:本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个
角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形
中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三
角形则需要用三垂线定理或逆定理.
证明:过H点作HD垂直BC于D点,连AD.
∵AH,
∴AD在平面内射影为HD.
∵BCHD,BC,
∴BCAD.
在Rt△ABH中有:cosBH

BA
在Rt△BHD中有:cosBD

BH
在Rt△ABD中有:cosBD

BA
由①、②、③可得:coscoscos.
说明r
好听全球资料 返回顶部