在点x0处取得极大值类似地可以证明情形2简要证明在情形1由于f′′x00f′x00按二阶导数的定义有f′xf′x0f′xf′′x0limlim0x→x0x→x0xx0xx0根据函数极限的局部保号性在x0的某一去心邻域内有f′x0xx0从而在该邻域内当xx0时
f′x0当xx0时f′x0根据定理2fx在点x0处取得极大值
定理3表明如果函数fx在驻点x0处的二导数f′′x0≠0那么该点x0一定是极值点并且可以按二阶导数f′′x0的符来判定fx0是极大值还是极小值但如果f′′x00定理3就不能应用讨论函数fxx4gxx3在点x0是否有极值提示f′x4x3f′00f′′x12x2f′′00但当x0时f′x0当x0时f′x0所以f0为极小值
g′x3x2g′00g′′x6xg′′00但g0不是极值
例2求函数fxx2131的极值解1f′x6xx2122令f′x0求得驻点x11x20x31
3f′′x6x215x214因f′′060所以fx在x0处取得极小值极小值为f005因f′′1f′′10用定理3无法判别因为在1的左右邻域内f′x0所以fx在1处
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
没有极值同理fx在1处也没有极值二最大值最小值问题在工农业生产工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题在一定条件下怎样使