内fx的驻点为x3不可导点为x1和x22由于f320f10f31f20f46比较可得fx在x3处取得它在34上的最24大值20在x1和x2处取它在34上的最小值0例4工厂铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20kmAC垂直于AB为了运输需要要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比35为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省问D点应选在何处
A20kmC
100kmD
B
解设ADxkm则DB100x
CD202x2400x2
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
设从B点到C点需要的总运费为y那么y5kCD3kDBk是某个正数即
y5k400x23k100x0≤x≤100
现在问题就归结为x在0100内取何值时目标函数y的值最小先求y对x的导数
y′k5x3CD400x2400x2
解方程y′0得x15km由于yx0400kyx15380kyx100500k1
1其中以yx15380k为最小因此当52
ADx15km时总运费为最省例2′工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为35为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处解设ADxkmB与C间的运费为y则y5kCD3kDB5k400x23k100x0≤x≤100
其中k是某一正数由y′k
5x30得x15400x2
由于yx0400kyx15380kyx100500k11其中以yx15380k为最小因此当52
ADx15km时总运费为最省
注意fx在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点x0并且这个驻点x0是函数fx的极值点那么当fx0是极大值时fx0就是fx在该区间上的最大值当fx0是极小值时fx0就是fx在该区间上的最小值
yyfxfx0fx0Oax0bxOax0bxyyfx
应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数fx确有最大值或最小值而
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§3
中值定理与导数的应用
且一定在定义区间内部取得这时如果fx在定义区间内部只有一个驻点x0那么不必讨论fx0是否是极值就可以断定fx0是最大值或最小值例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量WW1bh2最大6解b与h有下面的关系h2d2b2因而
W1bd2b20bd6
db
h
这样W就是自变量b的函数b的变化范围是0d现在问题化为b等于多少时目标函数W取最大r