f′x不改变符号那么函数fx在x0处没有极值定理2第一种充分条件第一种充分条件设函数fx在含x0的区间ab内连续在ax0及x0b内可导定理2′第一种充分条件1如果在ax0内f′x0在x0b内f′x0那么函数fx在x0处取得极大值2如果在ax0内f′x0在x0b内f′x0那么函数fx在x0处取得极小值3如果在ax0及x0b内f′x的符号相同那么函数fx在x0处没有极值定理2′′第一充分条件设函数fx在x0连续且在x0的某去心邻域x0δx0∪x0x0δ内可导1如果在x0δx0内f′x0在x0x0δ内f′x0那么函数fx在x0处取得极大值2如果在x0δx0内f′x0在x0x0δ内f′x0那么函数fx在x0处取得极小值3如果在x0δx0及x0x0δ内f′x的符号相同那么函数fx在x0处没有极值定理2也可简单地这样说当x在x0的邻近渐增地经过x0时如果f′x的符号由负变正那么fx在x0处取得极大值如果f′x的符号由正变负那么fx在x0处取得极小值如果f′x的符号并不改变那么fx在x0处没有极值注定理的叙述与教材有所不同确定极值点和极值的步骤确定极值点和极值的步骤1求出导数f′x2求出fx的全部驻点和不可导点3列表判断考察f′x的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值4确定出函数的所有极值点和极值例1求函数fxx43x12的极值解1fx在∞∞内连续除x1外处处可导且
f′x5x133x1
2令f′x0得驻点x1x1为fx的不可导点3列表判断xf′xfx∞11不可导01110
334
1∞
重庆三峡学院高等数学课程建设组
f高等数学教案
§3
中值定理与导数的应用
4极大值为f10极小值为f1334定理3第二种充分条件设函数fx在点x0处具有二阶导数且f′x00第二种充分条件f′′x0≠0那么1当f′′x00时函数fx在x0处取得极大值1当f′′x00时函数fx在x0处取得极小值证明在情形1由于f′′x00按二阶导数的定义有f′xf′x0f′′x0lim0x→x0xx0根据函数极限的局部保号性当x在x0的足够小的去心邻域内时f′xf′x00xx0但f′x00所以上式即
f′x0xx0
从而知道对于这去心邻域内的x来说f′x与xx0符号相反因此当xx00即xx0时f′x0当xx00即xx0时f′x0根据定理2fxr